Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 12
Faça o gráfico da função.
Use a regra de L’Hôspital para explicar o comportamento quando .
Estime o valor mínimo e os intervalos de concavidade. Então, use o cálculo para achar os valores exatos.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar o gráfico da função para ver o comportamento da função e estimar o valor de mínimo e intervalo de concavidade. Após estimar graficamente, iremos conferir nossa resposta utilizando o cálculo para achar o valor exato.
Fazendo o gráfico da função, temos
Passo 2
Vamos utilizar a regra de L’Hôspital para estimar o valor da função quando . Utilizando a regra, temos
Podemos concluir assim que em temos uma assíntota vertical.
Passo 3
Podemos ver não há um ponto de inflexão e há um ponto de mínimo local em . Derivando a função e igualando a zero podemos encontrar os valores exatos. Derivando, temos
Como então
Dessa forma, cresce em e e decresce em . Podemos ver também que é um valor de mínimo local.
Como , então
Dessa forma, possui concavidade para cima em e concavidade para baixo em . Não há ponto de inflexão.
Resposta
Cresce em e e decresce em . Podemos ver também que é um valor de mínimo local. = Possui concavidade para cima em e concavidade para baixo em . Não há ponto de inflexão.