Enunciado

( a ) Faça o gráfico da função.

( b ) Use a regra de L’Hôspital para explicar o comportamento quando x → 0 .

( c ) Estime o valor mínimo e os intervalos de concavidade. Então, use o cálculo para achar os valores exatos.

f x = x e 1 / x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar o gráfico da função para ver o comportamento da função e estimar o valor de mínimo e intervalo de concavidade. Após estimar graficamente, iremos conferir nossa resposta utilizando o cálculo para achar o valor exato.

( a ) Fazendo o gráfico da função, temos

Passo 2

( b ) Vamos utilizar a regra de L’Hôspital para estimar o valor da função quando x → 0 . Utilizando a regra, temos

lim x → 0 + ⁡ x e 1 / x = lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 / x = ∞

Podemos concluir assim que em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( c ) Podemos ver não há um ponto de inflexão e há um ponto de mínimo local em ( 1 ,   2.7 ) . Derivando a função e igualando a zero podemos encontrar os valores exatos. Derivando, temos

f ' x = e 1 / x 1 - 1 x

f ' ' x = e 1 / x x 3

Como f ' x > 0 então

e 1 / x 1 - 1 x > 0

x < 0   o u   x > 1

Dessa forma, f ( x ) cresce em ( - ∞   0 ) e ( 1 ,   ∞ ) e decresce em ( 0 ,   1 ) . Podemos ver também que f ( 1 ) = e é um valor de mínimo local.

Como f ' ' x > 0 , então

e 1 / x x 3 > 0

x > 0

Dessa forma, f possui concavidade para cima em ( 0 ,   ∞ ) e concavidade para baixo em ( - ∞ ,   0 ) . Não há ponto de inflexão.

Resposta

f ( x ) Cresce em ( - ∞   0 ) e ( 1 ,   ∞ ) e decresce em ( 0 ,   1 ) . Podemos ver também que f ( 1 ) = e é um valor de mínimo local. = f Possui concavidade para cima em ( 0 ,   ∞ ) e concavidade para baixo em ( - ∞ ,   0 ) . Não há ponto de inflexão.

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