Enunciado

Outra equação usada para modelar crescimento populacional é a equação de Gompertz.

d y d t = r y ln ⁡ ( K / y )

Em que r e K são constantes positivas.

(a) Esboce o gráfico de f y em função de y , encontre os pontos críticos e determine se cada um deles é assintoticamente eestável ou instável.

(b) Para 0 ≤ y ≤ K , determine onde o gráfico de y em função de t é convexo e onde é côncavo.

(c) Para cada y tal que 0 < y < K , mostre que d y / d t , como dado pela equação de Gompertz, nunca é menor do que d y / d t , como dado pela equação logística.

Passo 1

Para conseguirmos resolver nossos itens, primeiros precisamos resolver quem é nossa solução geral.

Passo 2

Vamos primeiro usar a ideia de separação de variáveis e reescrever nossa equação logística como

d y y ln ⁡ K y = r d t

Assim vamos apenas para facilitar nossa resolução fazer uma substituição. Tome ln ⁡ K y = u , o que implica que d u = - d y / y

Assim teremos

d u u = - r d t

Logo temos

u = C e - r t → ln ⁡ K / y = C e - r t

Que fica um coisa bem feia

y = K e C e - r t

Passo 3

(a) Agora podemos começar a resolver nosso exercício.

Seja nossa f y definida por

f y = r y ln ⁡ K y

Então nosso gráfico é dado por

Na qual nosso ponto de equilíbrio é em y = K . Tomando que do lado direto temos que a derivada maior que zero e do lado esquerdo uma derivada menor que zero, dizemos que nosso ponto não é nem assintoticamente estável e nem instável, ou seja, é assintoticamente semie-estável.

Passo 4

(b) Olhando para nossa figura no passo 3, temos que entre os intervalos 0 < y < K , temos que

ln ⁡ K y ≥ 0

Assim temos que

d y d t > 0

O que nos da um concavidade para cima. Não há concavidade para baixo dentro deste intervalo

Passo 5

(c) Queremos mostrar que para todo y dentro do intervalor 0 < y < K , o valor de y é maior do que o valor de d y / d t , ou seja

y ln ⁡ K y < y → ln ⁡ K y < 1

Temos que, o gráfico de ln é dado por

Ou seja, para valores onde y < K , temos que

ln ⁡ k y < 1

O que implica que

y ln ⁡ K y < y

E finalmente temos que

d y d t < y

Para todo y tal que 0 < y < K .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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