Enunciado

Suponha que Eq.(6) satifaz as condições do Teorema 2.6.1 em um retânculo R e é, portanto, exata. Mostre que uma função ψ ( x , y ) possível é

ψ x , y = ∫ x 0 x M s , y 0 d s + ∫ y 0 y N x , t d t

Em que x 0 , y 0 é um ponto em R .

Passo 1

O que o Teorema 2.6.1 tem a nos contar? Pois bem?

Suponha que as funções M , N , M y e N x , em que os índices denotam derivadas parciais, são com´tinuas em uma região retangular R : α < x < β ,   γ < y < δ . Então a Eq.(6)

M x , y + N x , y = 0

É uma equação diferencial exata em R se, e somente se,

M y x , y = N x x , y

Em cada ponto de R . Ou seja, existe uma função ψ satisfazendo as Eqs. (7),

ψ x = x , y = M x , y ,         ψ y = N x , y

Se, e somente se, M e N satisfazem a Eq M y x , y = N x x , y .

Passo 2

Como sugerido, partimos da Eq.(6), onde

M y x , y = N x x , y

Que são por natureza a mesma coisa que

∂ M x , y d y = ∂ N x , y d x

Mas como devemos lembar que M e N já são derivadas da nossa função ψ ( x , y ) , ou seja

∂ ψ x , y d x   d y = ∂ ψ x , y d y   d x

Usando a ideia de separação de variáveis, temos que

∂ ψ x , y d x d x = ∂ ψ x , y d y   d y

Assim integrando em ambos os lados em nosso retângulo, temos

ψ x , y =   ∫ x 0 x ∂ ψ x , y d x d x + ∫ y y y ∂ ψ x , y d y   d y = ∫ x 0 x M x , y 0 d x + ∫ y y y N x 0 , y   d y

Apenas para não complicar na hora de integrar, fazendo uma mudança de variável apenas para não confundir com os limites de integração, temos

ψ x , y = ∫ x 0 x M s , y 0 d s + ∫ y 0 y N x 0 , t   d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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