Enunciado

Outro modelo razoável para a velocidade escalar da água do rio no exercício 31 é a função senoidal f x = 3   s e n   π x 40 . Se o piloto do barco quiser atravessa o rio de A até B com direção constante e velocidade escalar constante de 5 m/s, determine o ângulo no qual o barco deve seguir.

Passo 1

Procedendo da mesma maneira que fizemos no exercício 31 e usando que

v → b a r c o = 5 cos ⁡ θ i + 5   s e n   θ   j

chegamos no sistema

d x d t = 5 cos ⁡ θ d y d t = f x + 5   s e n   θ

Da primeira equação, tiramos que x = 5 cos ⁡ θ   t , enquanto a segunda é

d y d t = f 5 cos ⁡ θ   t + 5   s e n   θ

Assim,

d y d t = 3   s e n   π   c o s θ   t 8 + 5   s e n   θ

Integrando a equação, obtemos

y = - 24 π cos ⁡ θ cos ⁡ π   c o s θ   t 8 + 5   s e n   θ   t + 24 π cos ⁡ θ

Passo 2

O tempo necessário para a travessia ocorre para x = 40 , de modo que

t = 8 cos ⁡ θ

Assim, substituindo na expressão para y :

y = 24 π cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ π + 5   s e n θ ⋅ 8 cos ⁡ θ = 48 π cos ⁡ θ + 40   s e n   θ cos ⁡ θ

Como queremos y = 0 , devemos ter

48 π cos ⁡ θ + 40   s e n   θ cos ⁡ θ = 0 ⇒ s e n   θ = - 48 40 π = - 6 5 π

Então,

θ = - a r c s e n   6 5 π

Resposta

- a r c s e n   6 5 π

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