Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 15
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Para esboçarmos o sólido, torna-se muito mais fácil compreende-lo no sistema de coordenadas cartesianos. Portanto, vamos mudar os limites de integração do sistema para .
Em relação a integração em , temos então:
Portanto, o nosso sólido é limitado acima por um paraboloide elíptico e abaixo pelo plano . Já a projeção do nosso sólido no plano nos da uma região tal que:
O como varia de 0 até 2, temos um círculo / um pedaço do círculo. Isto é definido pelo valor de , que varia no 4 quadrante até o primeiro quadrante.
Passo 2
Após compreendermos o sólido, podemos esboça-lo. Sendo assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,