Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ

Passo 1

Para esboçarmos o sólido, torna-se muito mais fácil compreende-lo no sistema de coordenadas cartesianos. Portanto, vamos mudar os limites de integração do sistema r , θ , z para x , y , z .

Em relação a integração em z , temos então:

z 1 = 0

z 2 = r 2 = x 2 + y 2

Portanto, o nosso sólido é limitado acima por um paraboloide elíptico e abaixo pelo plano z = 0 . Já a projeção do nosso sólido no plano x y nos da uma região tal que:

0 ≤ r ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

O como r varia de 0 até 2, temos um círculo / um pedaço do círculo. Isto é definido pelo valor de θ , que varia no 4 quadrante até o primeiro quadrante.

Passo 2

Após compreendermos o sólido, podemos esboça-lo. Sendo assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r z 0 r 2 d r d θ = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r 3 d r d θ

∫ - π 2 π 2 r 4 4 0 2 d θ = ∫ - π 2 π 2 4 d θ

4 θ - π / 2 π / 2 = 4 π

Resposta

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ = 4 π

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