Enunciado

Nas partes ( a ) a ( c ) , encontre o volume do sólido cuja base é o interior do círculo x 2 + y 2 = 1 e cujas seções transversais tomadas perpendicularmente à base são

a Semicírculos

b Quadrados

( c ) Triângulos equiláteros

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando a função para isolarmos o y :

x 2 + y 2 = 1

→ y = 1 - x 2

Logo, a gente vai ter:

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = ∫ a b A ( x )   d x

Então vamos logo calcular para o semicírculo, para isso temos que a área do semicírculo é:

A = π 2 r 2

→ A = π 2 1 - x 2 2

Passo 3

Show de bola, encontramos também as áreas do quadrado e do triângulo equilátero:

Q u a d r a d o → A = s 2

→ A = 2 1 - x 2 2

T r i â n g u l o   E q . → A = 3 ( b 2 ) 4

→ A = 3 2 1 - x 2 2 4

Passo 4

Por fim, botamos montamos as integrais e resolvemos, vamos lá, de uma por uma:

Semicírculo:

V = ∫ - 1 1 π 2 1 - x 2 2   d x

= π 2 x - x 3 3 - 1 1 = 2 π 3

Quadrado:

V = ∫ - 1 1 2 1 - x 2 2   d x

= 4 x - x 3 3 - 1 1 = 16 3

Triângulo equilátero:

V = ∫ - 1 1 3 2 1 - x 2 2 4   d x

= 3 x - x 3 3 - 1 1 = 4 3 3

Resposta

a 2 π 3

b 16 3

( c ) 4 3 3

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