Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 \* x com aceleração constante a , a > 0 . Suponha que no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, dada por v(t) = a \* t .

Divida o intervalor de tempo [0, T] em n intervalos de amplitudes iguais a T / n :

No instante T / n a velocidade será aT / n , no instante 2 \* T / n , será 2 \* a \* T / n etc. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido entre os instantes T / n e 2 \* T / n será aproximadamente (aT / n) \* (T / n) (por quê?); entre os instantes 2 \* T / n e 2 \* T / n o espaço percorrido será aproximadamente (2 \* a \* T / n) \* (T / n) etc.

a) Calcule lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n

b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.

Passo 1

a) Podemos escrever a soma como:

a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 n 2 1 + 2 + 3 + … + n - 1 = a T 2 2 1 - 1 n

Assim:

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = lim n → + ∞ ⁡ a T 2 2 1 - 1 n = a T 2 2 1 - 0

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 2

Passo 2

b) Cinematicamente, o limite que calculamos no item (a) nos dá justamente o espaço percorrido pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T .

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 2

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