Enunciado

Use o gráfico da sequência para decidir quando a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência é convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e, então, prove seu palpite. (Veja na nota de rodapé na página 699 para conselhos de gráficos de sequências.)

a n = s e n   n n

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza?

Para resolver essa questão vamos precisar começar plotando o gráfico da nossa sequência e, a partir dele, entender se nossa função parece convergir para algum valor em específico.

Depois podemos confirmar se essa convergência realmente ocorre calculando o valor do limite da nossa sequência com n → ∞ e vendo se esse valor condiz com nosso palpite inicial.

Ah, e sobre a nota de rodapé na página 699, ela basicamente traz uma dica de como alguns sistemas de álgebra computacional nos permitem criar sequências e graficá-las diretamente. No entanto, com a maioria das calculadoras gráficas, as sequências podem ser graficadas utilizando equações paramétricas.

No nossa caso, usaremos o software GeoGebra, que já nos trás o gráfico diretamente quando utilizamos a função sequências.

Por fim, para calcular nosso limite, podemos usar o Teorema do Confronto, já que seno é limitado entre dois valores.

Passo 2

Usando o software GeoGebra para plotar os pontos dessa sequência, temos:

Do gráfico, parece que a sequência é convergente! Ela parece convergir para zero, conforme o valor de n aumenta. Vamos verificar se isso é verdade!

Passo 3

Bom, sabemos que a função seno varia entre - 1 e 1 , beleza? Então, essa sequência é limitada, o que nos dá um forte indício que podemos usar o Teorema do Confronto para resolver o limite.

Relembrando do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):

O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.

Basicamente:

se f x ≤ g x ≤ h ( x ) e lim x → p ⁡ f x = lim x → p ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L

Vamos escrever esse intervalo de valores:

- 1 ≤ s e n   n ≤ 1

Vamos dividir a inequação por n , para ficarmos com o termo da nossa sequência:

- 1 n ≤ s e n   n n ≤ 1 n

Vamos aplicar o limite em todos os termos da inequação.

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ≤ l i m n → ∞ s e n   n n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n  

Resolvendo os limites das extremidades, temos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

O que nos deixa com:

0 ≤ l i m n → ∞ s e n   n n ≤ 0

De acordo com o teorema do confronto, se os limites dos extremos forem iguais, o limite da sequência que está entre as duas também será igual a eles. Assim,

lim n → ∞ ⁡ s e n   n n = 0

Portanto, a série, de fato, é convergente e converge para zero.

Resposta

A sequência converge para zero!

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.33. a n = n 2 n 3 + 4 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 1 nn 3 n 3 + 2 n 2 + 1
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ln ⁡ n ln ⁡ 2 n