Enunciado

Uma partícula se move no espaço com vetor posição r → t . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t .

b) r → t = t 2   i → + t 6   j → ; t = 0 ;   1

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O vetor posição é o seguinte:

r → t = t 2   i → + t 6   j →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = 2 t   i → + 6 t 5   j →

Para encontrarmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = 2 i → + 5 × 6 t 4 j →

Logo,

a → t = 2   i → + 30 t 4   j →

Passo 2

Agora vamos encontrar da velocidade nos instantes t = 0 e t = 1 .

v → t = 2 t   i → + 6 t 5   j →

No instante t = 0 :

v → 0 = 2 × 0   i → + 6 × 0 5   j →

Logo,

v → 0 = 0 i → + 0 j →

No instante t = 1 :

v → 1 = 2 × 1   i → + 6 × 1 5   j →

Isto é,

v → 1 = 2   i → + 6   j →

Passo 3

Já para aceleração, temos o seguinte:

a → t = 2   i → + 30 t 4   j →

Em t = 0 :

a → 0 = 2   i → + 30 × 0 4   j →

Isto é,

a → 0 = 2   i → + 0   j →

Em t = 1 :

a → 1 = 2   i → + 30 × 1 4   j →

Portanto,

a → 1 = 2   i → + 30   j →

Passo 4

Por fim, vamos fazer um esboço da trajetória da partícula.

r → t = t 2   i → + t 6   j →

Fazendo um esboço:

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = 2 t   i → + 6 t 5   j →

a → t = 2   i → + 30 t 4   j →

Para t = 0 :

v → 0 = - 1 i → + 1 j →

a → 0 = 2 i → + 0 j →

Para t = 2 :

v → 1 = - 1 4 i → + 1 j →

a → 1 = 1 4 i → + 0 j →

Esboço da trajetória:

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