Enunciado

Uma partícula move-se com aceleração a t   m / s 2 ao longo de um eixo s

e tem velocidade v 0   m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

a t = t - 2 ,     v 0 = 0 ,     1 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

Só que nesse caso a gente não tem a função v ( t ) 😫! E agora?

Sorte a nossa que a gente sabe que:

v t = ∫ a t   d t

Então tá show! A gente descobre a função v ( t ) e depois joga naquelas outras lá.

v t = ∫ t - 2   d t = t 2 2 - 2 t + C

Pra achar esse C a gente tem que v 0 = 0 , então:

v 0 = 0 2 2 - 2 0 + C = 0

C = 0

Problema resolvido: nossa função v t = t 2 2 - 2 t .

Passo 3

Agora a gente descobre o deslocamento aqui:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 1 5 t 2 2 - 2 t   d t = t 3 6 - t 2 1 5 = 125 6 - 25 - 1 6 + 1 =   - 20 6 =   - 10 3

E agora a distância:

d i s t â n c i a = ∫ 1 5 t 2 2 - 2 t d t

Aqui a gente vai ter que dividir a integral, então vem comigo!

Passo 4

Vamos ver o sinal da função:

t 2 2 - 2 t ≥ 0

t t 2 - 2 ≥ 0

t ≥ 0

t 2 - 2 ≥ 0 → t 2 ≥ 2 → t ≥ 4

Então olha só: a função é positiva a partir de t = 4 , então a nossa integral vai ter que ficar assim:

∫ 1 4 2 t - t 2 2   d t + ∫ 4 5 t 2 2 - 2 t   d t

= t 2 - t 3 6 1 4 + t 3 6 - t 2 4 5

= 16 - 64 6 - 1 + 1 6 + 125 6 - 25 - 64 6 + 16

= 17 3

E prontinho! Achamos o deslocamento e a distância😉

Resposta

Deslocamento= - 10 3 m

Distância = 17 3   m

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