Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 69
Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de 120 pés/s. Qual a altura do penhasco?
Passo 1
Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui teremos a resolução de uma atividade de física/cálculo, onde iremos aplicar os nossos conhecimentos relacionados a derivadas e antiderivada.
Vamos encontrar a altura do penhasco através da aceleração da pedra. A aceleração da gravidade em pés/s² é aproximadamente:
Se temos a aceleração, podemos chegar na função da velocidade através da aplicação da antiderivada. Depois, achamos a antiderivada da velocidade e encontramos a função da posição.
A antiderivada para funções polinomiais é:
Passo 2
A aceleração da pedra é uma constante, igual à aceleração da gravidade. Colocando como positivo o sentido para cima, temos:
= aceleração
Agora, fazendo a antiderivada:
= velocidade
= posição
Sabemos que a velocidade inicial da partícula é zero, então encontramos a constante :
E temos a função da velocidade completa:
Com a função da velocidade, podemos encontrar o tempo que a pedra leva até chegar no chão. A velocidade nesse tempo é 120 pés/s (negativo pois é para baixo), então:
Passo 3
Como já temos a velocidade, agora achamos a função da posição através de sua antiderivada:
Sabemos que a posição inicial da pedra é a altura do penhasco, e que a altura final, no tempo , é zero. Então aplicamos essas duas informações na fórmula de :