Enunciado

Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de 120 pés/s. Qual a altura do penhasco?

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui teremos a resolução de uma atividade de física/cálculo, onde iremos aplicar os nossos conhecimentos relacionados a derivadas e antiderivada.

Vamos encontrar a altura do penhasco através da aceleração da pedra. A aceleração da gravidade em pés/s² é aproximadamente:

g = 32,1   p é s / s 2

Se temos a aceleração, podemos chegar na função da velocidade através da aplicação da antiderivada. Depois, achamos a antiderivada da velocidade e encontramos a função da posição.

A antiderivada para funções polinomiais é:

f ' x = x n ⇒ f x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 2

A aceleração da pedra é uma constante, igual à aceleração da gravidade. Colocando como positivo o sentido para cima, temos:

a t = s ' ' t = - 32,1

a = aceleração

Agora, fazendo a antiderivada:

v t = s ' t = - 32,1 t + C

v = velocidade

s = posição

Sabemos que a velocidade inicial da partícula é zero, então encontramos a constante C :

v 0 = 0 ⇒ C = 0

E temos a função da velocidade completa:

v t = s ' t = - 32,1 t

Com a função da velocidade, podemos encontrar o tempo t q u e d a que a pedra leva até chegar no chão. A velocidade nesse tempo é 120 pés/s (negativo pois é para baixo), então:

v t q u e d a = - 32,1 t q u e d a = - 120

⇒ t q u e d a = 120 32,1 = 3,74   s

Passo 3

Como já temos a velocidade, agora achamos a função da posição através de sua antiderivada:

v t = s ' t = - 32,1 t

⇒ s t = - 32,1 t 2 2 + D = - 16,05 t 2 + D

Sabemos que a posição inicial da pedra é a altura H do penhasco, e que a altura final, no tempo t q u e d a , é zero. Então aplicamos essas duas informações na fórmula de s :

s 0 = H ⇒ D = H

⇒ s t = - 16,05 t 2 + H

s t q u e d a = 0 ⇒ - 16,05 t q u e d a 2 + H = 0

⇒ H = 16,05 t q u e d a 2 = 16,05 3,74 2

⇒ H = 224,5   p é s

Resposta

H = 224,5   p é s

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