Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

a t = t - 2 ,             s 0 = 1 ,             v 0 = 3

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a posição de uma partícula com base na função aceleração apresentada. Para isso, iremos utilizar o conceito de antiderivada, pois a aceleração de uma partícula é a derivada da sua velocidade, que por sua vez é a derivada da sua posição. Dessa forma, utilizando a antiderivada, podemos encontrar a posição da partícula.

Passo 2

Para encontrar a velocidade v ( t ) da partícula, iremos utilizar a antiderivada na função a ( t ) . Para isso, iremos utilizar a regra da potência.

a t = t - 2

v t = t 2 2 - 2 t + C

Derivando v ( t ) , temos

v ' t = t - 2 = a ( t )

Dessa forma, a função v ( t ) é a antiderivada de a ( t ) . Iremos agora utilizar o mesmo conceito para encontrar a posição

v t = t 2 2 - 2 t + C

s t = t 3 2.3 - 2 t 2 2 + C t + D = t 3 6 - t 2 + C t + D

Derivando s ( t ) , temos

s ' t = t 2 2 - 2 t + C = v ( t )

Dessa forma, s ( t ) é a antiderivada de v ( t ) .

Passo 3

Podemos agora encontrar o valor das constantes C e D utilizando as condições dadas. Aplicando a condição v 0 = 3 , temos

v t = t 2 2 - 2 t + C

v 0 = 0 2 2 - 2 ( 0 ) + C

C = 3

Dessa forma, C = 3 . Aplicando agora a condição s 0 = 1 , temos

s t = t 3 6 - t 2 + C t + D

s 0 = 0 3 6 - 0 2 + 3 ( 0 ) + D

Dessa forma, D = 1 .

Resposta

s t = t 3 6 - t 2 + 3 t + 1

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