Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 24 x^2 + 2 x + 10 , f (1) = 5 , f^' (1) = - 3

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = 24 x^2 + 2 x + 10

f^' ( x ) = (24)/(3) x^3 + (2)/(2) x^2 + 10 x + C = 8 x^3 + x^2 + 10 x + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 24 x^2 + 2 x + 10

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' (x) = 8 x^3 + x^2 + 10 x + C

f (x) = (8)/(4) x^4 + (x^3)/(3) + (10)/(2) x^2 + C x + D = 2 x^4 + (x^3)/(3) + 5 x^2 + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 8 x^3 + x^2 + 10 x + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f^' (1) = - 3 , temos

f^' (x) = 8 x^3 + x^2 + 10 x + C

f^' (1) = 8 ( 1 )^3 + 1^2 + 10 ( 1 ) + C

C = - 22

Aplicando f (1) = 5 , temos

f (x) = 2 x^4 + (x^3)/(3) + 5 x^2 - 22 x + D

f (1) = 2 ( 1 )^4 + (1^3)/(3) + 5 (1)^2 - 22 ( 1 ) + D

D = 19.6

Resposta

f (x) = 2 x^4 + (x^3)/(3) + 5 x^2 - 22 x + 19.6

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O gráfico de uma função está mostrado na figura. Faça um esboço de uma primitiva de F , dado que F 0 = 1 .
Encontre f .f^(' ') (x) = 2 + cos x , f (0) = - 1 , f (pi // 2) = 0
Encontre f . f ' ' t = 2 e t + 3 s e nt , f 0 = 0 ,f π = 0
Encontre f .f^(' ') (x) = 2 - 12 x , f (0) = 9 , f (2) = 15
Encontre f . f ' ' x = x - 2 ,x0 , f 1 = 0 ,f 2 = 0