Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma reta, de acordo com a equação do movimento s = A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t , onde A , B e k são constantes e s m é a distância orientada da partícula a partir da origem em t   s . Prove que o movimento é harmônico simples, mostrando que se a   m / s 2 for a aceleração em t   s então a sera proporcional a s

Passo 1

Temos que mostrar que

a = M ∙ s

Onde K vai ser uma constante. Pelo enunciado, temos que:

s = A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t

Precisamos ahar a , que é a segunda derivada de s

a = s ' '

Vamos começar com s '

Passo 2

A derivada vai ser:

s ' = A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t ' = A ∙ 2 k t ' + B ∙ 2 - k t '

s ' = A 2 k t ' + B 2 - k t '

Para aquelas duas derivadas temos que lembrar que:

a t ' = a t ln ⁡ a

Além disso, tem um k t ali, então devemos usar a regra da cadeia. Primeiro

s ' = A 2 k t ' + B 2 - k t ' = A ∙ 2 k t ln ⁡ 2 k t ' + B ∙ 2 - k t ln ⁡ 2 - k t '

s ' = A ∙ 2 k t ln ⁡ 2 k + B ∙ 2 - k t ln ⁡ 2 - k

s ' = A k ∙ 2 k t ln ⁡ 2 - B k ∙ 2 - k t ln ⁡ 2

Colocando k ln ⁡ 2 em evidência:

s ' = k ln ⁡ 2 A ∙ 2 k t - B ∙ 2 - k t

Passo 3

Vamos para a segunda derivada:

s ' ' = k ln ⁡ 2 A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t ' = k ln ⁡ 2 A ∙ 2 k t ' - B ∙ 2 - k t '

s ' ' = k ln ⁡ 2 A 2 k t ' - B 2 - k t '

s ' ' = k ln ⁡ 2 A ∙ 2 k t ln ⁡ 2 k t ' - B ∙ 2 - k t ln ⁡ 2 - k t '

s ' ' = k ln ⁡ 2 A ∙ 2 k t ln ⁡ 2 k - B ∙ 2 - k t ln ⁡ 2 - k

s ' ' = k ln ⁡ 2 A k ∙ 2 k t ln ⁡ 2 + B k ∙ 2 - k t ln ⁡ 2

Colocando o k ln ⁡ 2 de dentro do parênteses em evidência:

s ' ' = k 2 ln 2 ⁡ 2 A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t

Passo 4

Achamos s ' ' , vamos comparar com s

s ' ' = k 2 ln 2 ⁡ 2 A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t

E

s = A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t

Aquele termo dentro do parênteses é exatamente s

s ' ' = k 2 ln 2 ⁡ 2 s

Como k 2 ln 2 ⁡ 2 é constante, temos que s ' ' é proporcional a s , logo é um movimento harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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