Enunciado

Prove, sem usar a definição de uma derivada, que

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Sugestão: seja y = a x - 1 e expresse a x - 1 x como função de y , digamos, g y . Então mostre que y → 0 quando x → 0 e encontre lim y → 0 ⁡ g y

Passo 1

Facinho com aquela sugestão né?hahahaha

Ela é meio doida, você precisa ter feito o exercicico 65 para conseguir usá-la.

Vamos fazer algo mais legal?

Primeiro, vamos substuir o valor de x

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = a 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Opa, deu uma indeterminação 0 0 , podemos usar L’Hospital. Não é definição de derivada, então ta valendo.

Passo 2

Usando L’Hospital, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = lim x → 0 ⁡ a x - 1 ' x '

Lembrando que:

a x ' = a x ln ⁡ a

Vamos ter

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = lim x → 0 ⁡ a x ln ⁡ a 1 = a 0 ln ⁡ a 1 = 1 ln ⁡ a 1 = ln ⁡ a

E pronto, está demosntrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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