Enunciado

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metros

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f t = t 3 - 12 t 2 + 36 t

Passo 1

Opa, temos uma questão com muitos itens! Bora entender o que ela quer da gente!

Temos uma partícula se movendo de acordo com as seguintes expressões:

s = f ( t ) , t ≥ 0

f t = t 3 - 12 t 2 + 36 t

Onde s é a posição em metros e t é o tempo em segundos.

Na letra (a) queremos a velocidade no instante t . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então:

v t = f ' t

v t =   3 t 2 - 24 t + 36

Próxima!

Passo 2

Agora queremos a velocidade depois de 3 s . Pra isso pegamos a expressão acima e substituímos t = 3 :

v 3 = 3 ⋅ 3 2 - 24 ⋅ 3 + 36 = - 9 m / s

Esse sinal negativo significa que a partícula esta se movendo da direita para a esquerda!

Passo 3

Ne letra (c) devemos determinar quando a partícula está em repouso. Isso acontece quando:

d s d t = 0

Logo:

v t = 0 = 3 t 2 - 24 t + 36

Usando Báskara, ficamos com:

∆ = - 24 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 36 = ± 12

t = 24 ± 12 2 ⋅ 3 = 24 ± 12 6

t = 2 s   o u   t = 6 s

Próxima!

Passo 4

Agora queremos saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo. Pra isso devemos ter v t > 0 :

3 t 2 - 24 t + 36 > 0

A nossa função é uma parábola com concavidade pra cima, isso significa que, se tem valores positivos e negativos de y ela deve começar positiva, ficar negativa e depois positiva de novo.

Como temos os valores das raízes podemos esboçar rapidamente o gráfico:

Então a partícula esta se movendo no sentido positivo quando:

t < 2   e   t > 6

Passo 5

Agora queremos a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos, sabemos que a partícula se move no sentido positivo nos intervalos: 0 ≤ t < 2   o u   t > 6

Logo, no intervalo de 2 ≤ t ≤ 6 a partícula se move no sentido negativo, então calcularemos a distância para cada intervalo:

f 2 - f 0 = 2 3 - 12 2 2 + 36 2 - 0 3 - 12 0 2 + 36 0 = 32

f 6 - f 2 = 0 - 32 = 6 3 - 12 6 2 + 36 6 - 32

= 0 - 32 = 32

f 8 - f 6 = 8 3 - 12 8 2 + 36 8 - 0 = 32 m

Então da distância total s :

s = 32 + 32 + 32 = 96 m

Passo 6

Agora a gente tem que fazer um diagrama para ilustrar o movimento da partícula. Sabemos pela letra anterior que a partícula anda 32   m pra direita nos primeiros 2 segundos. Depois anda 32   m pra esquerda nos próximos 4 segundos e finalmente nos últimos 2 segundos ela anda 32 metros pra direita.

Colocando isso em um esqueminha:

  1. Esboçando o gráfico f t = s

Passo 7

Na letra (g) devemos calcular a aceleração no instante t e depois de 3 s . A aceletração é a derivada da velocidade em função do tempo, então:

a t = v ' t = 6 t - 24

Agora substituindo:

a 3 = 6 ⋅ 3 - 24 = - 6 m s 2

Passo 8

Agora vamos fazeros gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8 . Temos que:

f t = t 3 - 12 t 2 + 36 t

v t = 3 t 2 - 24 t + 36

a t = 6 t - 24

Fazendo os gráficos, onde f t → v e r m e l h o ,     v t → v e r d e   e   a t → a z u l :

Passo 9

ENFIM O ÚLTIMO ÍTEEEM!!! quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

A partícula está acelerando quando a   e v possuem o mesmo sinal. Logo, ela está acelerando no intervalo:

2 < t < 4

A partícula está freando quando a   e v possuem sinais opostos. Logo, ela está freando nos intervalos:

0 ≤ t < 2   ⋃ 4 < t < 6

Poderiamos também ter observado o gráfico do passo anterior!

Prontinho =D

Resposta

Desenvolvimento acima

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