Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 46
(a) Encontre os intervalos de aumento ou diminuição.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes para esboçar o gráfico.
Passo 1
Bom galera, a nossa função é:
Vamos começar derivando ela, usando a regra da derivada composta:
Ou seja, a derivada de uma função com outra dentro é o produto da derivada de cada uma das funções, na função do problema, as funções são:
Passo 2
Beleza, a gente vai usar a regra geral para calcular as derivadas de e :
E:
Agora, vamos aplicar a regra da derivada composta:
Passo 3
Show de bola, bora analisar então quando a derivada é positiva e negativa, porque isso vai dizer pra gente quando a função aumente e diminui.
Como o denominador da derivada tem apenas elevado , então o denominador vai sempre ser positivo e para saber se a derivada vai ser positiva ou negativa, vai depender apenas do numerador que é:
Que vai ser positivo quando , negativo quando e igual a quando .
Assim a gente conclui que:
(a) A função aumenta nos intervalos e diminui em .
Passo 4
Com a gente derivada também a gente encontra os máximos e mínimos locais, que vão acontecer quando :
Logo:
(b) , é o ponto de mínimo.
De mínimo, pois para valores de a derivada é negativa e para valores de é positiva.
Passo 5
Bom, para sabermos sobre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, a gente vai pegar a segunda derivada usando a regra da derivada de divisão de funções:
A gente iguala a :
E encontramos:
E então:
(c) Concavidade para cima , concavidade para baixo e os pontos de inflexão são e .
Por ultimo o gráfico da função :
(d)
Resposta
(a) A função aumenta nos intervalos e diminui em .
(b) , é o ponto de mínimo.
(c) Concavidade para cima , concavidade para baixo e os pontos de inflexão são e .