Enunciado

(a) Encontre os intervalos de aumento ou diminuição.

(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes ( a ) - ( c ) para esboçar o gráfico.

f x = ln ⁡ x 2 + 9

Passo 1

Bom galera, a nossa função é:

f x = ln ⁡ x 2 + 9

Vamos começar derivando ela, usando a regra da derivada composta:

h g x ' = h ' g ( x ) ⋅ g ' ( x )

Ou seja, a derivada de uma função com outra dentro é o produto da derivada de cada uma das funções, na função do problema, as funções são:

h x = ln ⁡ x 2 + 9

g x = x 2 + 9

Passo 2

Beleza, a gente vai usar a regra geral para calcular as derivadas de h ( x ) e g ( x ) :

d ( l n ⁡ ( x ) ) d x = 1 x

h ' x = 1 x 2 + 9

E:

g ' x = 2 x

Agora, vamos aplicar a regra da derivada composta:

h g x ' = h ' g ( x ) ⋅ g ' ( x )

→ f ' x = 1 x 2 + 9 ⋅ 2 x

→ f ' x = 2 x x 2 + 9

Passo 3

Show de bola, bora analisar então quando a derivada é positiva e negativa, porque isso vai dizer pra gente quando a função f ( x ) aumente e diminui.

f ' x = 2 x x 2 + 9

Como o denominador da derivada tem x apenas elevado 2 , então o denominador vai sempre ser positivo e para saber se a derivada vai ser positiva ou negativa, vai depender apenas do numerador que é:

2 x

Que vai ser positivo quando x > 0 , negativo quando x < 0 e igual a 0 quando x = 0 .

Assim a gente conclui que:

(a) A função aumenta nos intervalos [ 0 : ∞ ] e diminui em [ - ∞ : 0 ] .

Passo 4

Com a gente derivada também a gente encontra os máximos e mínimos locais, que vão acontecer quando f ' x = 0 :

f ' x = 2 x x 2 + 9 = 0

Logo:

(b) x = 0 , é o ponto de mínimo.

De mínimo, pois para valores de x < 0 a derivada é negativa e para valores de x > 0 é positiva.

Passo 5

Bom, para sabermos sobre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, a gente vai pegar a segunda derivada usando a regra da derivada de divisão de funções:

f ' ' x = - 2 x 2 + 18 x 2 + 9 2

A gente iguala a 0 :

f ' ' x = - 2 x 2 + 18 x 2 + 9 2 = 0

E encontramos:

x = ± 3

E então:

(c) Concavidade para cima ( - 3,3 ) , concavidade para baixo ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) e os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

Por ultimo o gráfico da função f ( x ) :

(d)

Resposta

(a) A função aumenta nos intervalos [ 0 : ∞ ] e diminui em [ - ∞ : 0 ] .

(b) x = 0 , é o ponto de mínimo.

(c) Concavidade para cima ( - 3,3 ) , concavidade para baixo ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) e os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.(d) Encontre os intervalos de
Use os métodos desta seção para esboçar a curva y = x 3 - 3 a 2 x + 2 a 3 , onde a é uma constante positiva. O que os membros desta família têm em comum? Como eles diferem entre si?
(a) Use os gráficos de s e n h , c o s h e t g h das Figuras 1 - 3 para fazer os gráficos de c o s s e c h , s e c h e c o t g h .(b) Verifique os gráficos que você esboçou no parte (a) usando uma fer
Para cada uma das seguintes funções ( i ) dê uma definição como aquelas em ( 2 ), ( i i ) esboce o gráfico e ( i i i ) encontre uma fórmula similar à Equação 3 .(a) c o s s e c h - 1 (b) s e c h - 1 (
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 20 x 3 - 3 x 5