Enunciado

Faça um esboço da curva y = x n   ( n   i n t e i r o ) nos seguintes casos.

  1. n = 0
  2. n > 0   ( n   í m p a r )
  3. n > 0   ( n   p a r )
  4. n < 0   ( n   í m p a r )
  5. n < 0   ( n   p a r )

Então use esses esboços para calcular os seguintes limites

a) lim x → 0 + ⁡ x n

b) lim x → 0 - ⁡ x n

c) lim x → ∞ ⁡ x n

d) lim x → - ∞ ⁡ x n

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente fazer o esboço da curva

y = x n

Para diferentes condições de n , e depois usar esse esboço para determinar os limites

a) lim x → 0 + ⁡ x n

b) lim x → 0 - ⁡ x n

c) lim x → ∞ ⁡ x n

d) lim x → - ∞ ⁡ x n

E a primeira coisa que deve chamar a nossa atenção aqui é que a nossa curva y = x n , assumirá características diferentes de acordo com os valores de n que escolhermos.

Por isso é que o enunciado lista as condições:

i) n = 0

ii) n > 0 ,   n   í m p a r

iii) n > 0 ,   n   p a r

iv) n < 0 ,   n   í m p a r

v) n < 0 ,   n   p a r

Bom, então vem comigo fazer essa análise.

Passo 2

Vamos começar com

i) n = 0

então nossa função será

y = x 0

E qualquer coisa elevada a zero é igual a 1 .

Então nossa função se torna:

y = 1

Que é uma função constante de altura 1 . E seu esboço será:

Passo 3

Agora vamos analisar a condição

ii) n > 0 ,   n   í m p a r

Vamos supor n = 3 , n = 5 e n = 7 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função ímpar, ou seja

f - x = - f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ele crescerá, fazendo com que a curva fique mais próxima do eixo y .

Show.

Passo 4

Vamos pra próxima condição.

iii) n > 0 ,   n   p a r

Vamos supor n = 2 , n = 4 e n = 6 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função par, ou seja

f - x = f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ele crescerá, fazendo com que a curva fique mais próxima do eixo y .

Passo 5

Vamos agora analisar

iv) n < 0 ,   n   í m p a r

Vamos supor n = - 1 , n = - 3 e n = - 5 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função ímpar, ou seja

f - x = - f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ela decrescerá, fazendo com que a curva fique mais afastada do eixo y .

Passo 6

Vamos agora analisar

v) n < 0 ,   n   p a r

Vamos supor n = - 2 , n = - 4 e n = - 5 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função par, ou seja

f - x = f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ela decrescerá, fazendo com que a curva fique mais afastada do eixo y .

Passo 7

Bom pessoal, agora vamos plotar as curvas pedidas em um gráfico único para entender como elas se relacionam. Podemos pegar um valor genérico que atenda os itens, apenas para visualizar o comportamento da função.

Agora, para encontrar o limite pedido, basta vermos para que valor cada uma das curvas estão se aproximando no ponto pedido. Assim, podemos ver que mostraremos todos os esboços e nos passos posteriores calcularemos os limites.

Passo 8

Pelos gráficos, podemos escrever

lim x → 0 + ⁡ x n = 1   s e   n = 0 0   s e   n > 0 ∞   s e   n < 0  

Pelos gráficos, podemos escrever

lim x → 0 - ⁡ x n = 1   s e   n = 0 0   s e   n > 0 - ∞   s e   n < 0   n   í m p a r ∞   s e   n < 0   n   p a r  

Pelos gráficos, podemos escrever

lim x → ∞ ⁡ x n = 1   s e   n = 0 ∞   s e   n > 0 0   s e   n < 0  

Pelos gráficos, podemos escrever

lim x → - ∞ ⁡ x n = 1   s e   n = 0 - ∞   s e   n > 0   n   í m p a r   ∞   s e   n > 0   n   p a r 0   s e   n < 0  

Resposta

  1. lim x → 0 + ⁡ x n = 1   s e   n = 0 0   s e   n > 0 ∞   s e   n < 0  
  2. lim x → 0 - ⁡ x n = 1   s e   n = 0 0   s e   n > 0 - ∞   s e   n < 0   n   í m p a r ∞   s e   n < 0   n   p a r  
  3. lim x → ∞ ⁡ x n = 1   s e   n = 0 ∞   s e   n > 0 0   s e   n < 0  
  4. lim x → - ∞ ⁡ x n = 1   s e   n = 0 - ∞   s e   n > 0   ( n   í m p a r )   ∞   s e   n > 0   ( n   p a r ) 0   s e   n < 0  
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Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 1 3 ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 3 x = 2
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ . lim x → 3 ⁡ 2 x - 5 = 1
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - x - 6 = 9
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → - 1 ⁡ 3 x + 8 = 5
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim t → 0 ⁡ 9 - t - 3 t