Enunciado

Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal, de acordo com a equação s = t 3 - 3 t 2 - 9 t + 2 , onde s cm é a distância orientada da partícula a partir de um ponto O em t s. O sentido positivo do movimento é para a direita. Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula inverte o sentido de seu movimento na reta. Mostre o comportamento do movimento como uma figura e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t nos quais a partícula inverte o sentido do seu movimento.

Passo 1

Para determinar os intervalos de tempo quando a partícula inverte o seu movimento, precisaremos da velocidade, pois quando a velocidade for 0, significa que a partícula parou num instante para inverter seu sentido. A velocidade podemos obter derivando a equação dada:

d s d t = d d t t 3 - 3 t 2 - 9 t + 2

Passo 2

Como são apenas polinômios, podemos derivar diretamente cada termo:

v = d s d t = 3 t 2 - 6 t - 9

Essa será a equação da velocidade da partícula. Então igualamos a zero e calculamos em quais pontos t a velocidade é 0:

3 t 2 - 6 t - 9 = 0

3 t + 3 t - 3 = 0

As raízes são:

t = - 1   e   t = 3

Passo 3

Como t é a variável tempo, ela não pode assumir valores negativos, com isso, haverá apenas um instante em que a partícula inverte seu sentido em t = 3 . Agora precisamos substituir valores menores e maiores que t = 3 arbitrários na equação da velocidade, para sabermos quando ela se move para a esquerda e para a direita. Vamos usar primeiro t = 1

v = d s d t = 3 t 2 - 6 t - 9

v 1 = 3 ( 1 ) 2 - 6.1 - 9 = - 12 c m / s

E agora t = 4 :

v 4 = 3 ( 4 ) 2 - 6.4 - 9 = 15 c m / s

O enunciado nos diz que o movimento para a direita é positivo. Podemos ver que para valores menores que 3 a partícula se move para a esquerda, pois a velocidade é negativa e para valores maiores que 3, se move para a direita.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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