Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 38
Dentre as infinitas restas tangentes à curva que passam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o método de Newton para encontrar a inclinação daquela reta com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Temos que então sua derivada é . Em , a inclinação da reta tangente é e a reta que passa pela origem e por é
Se essa reta é tangente a em , então a inclinação deve ser igual a , assim valos igualar as duas:
Passo 2
Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula, com , então a fórmula fica:
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo, vamos usar , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Agora com :
Vamos agora calcular para achar o valor da maior inclinação da reta:
A inclinação da reta com a máxima inclinação é .
Resposta
A inclinação da reta com a máxima inclinação é .