Enunciado

Dentre as infinitas restas tangentes à curva y = - sen ⁡ x que passam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o método de Newton para encontrar a inclinação daquela reta com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

Temos que f x = - sen ⁡ x então sua derivada é f ' x = - cos ⁡ x . Em x = a , a inclinação da reta tangente é f ' a = - cos ⁡ a e a reta que passa pela origem e por a ,   f a é

y = - sen ⁡ a - 0 a - 0 = - sen ⁡ a a

Se essa reta é tangente a f em x = a , então a inclinação deve ser igual a f ' a , assim valos igualar as duas:

- sen ⁡ a a = - cos ⁡ a → tg ⁡ a = a

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula, com g x = tg ⁡ x - x , então a fórmula fica:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

Vamos agora precisar de g ' x , vamos calcular então!!

Vamos calcular g ' x :

g ' x = tg ⁡ x - x ' = sec 2 ⁡ x - x 1 - 1 = sec 2 ⁡ x - 1

Passo 3

Pronto, agora que temos g ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n → x n + 1 = x n - tg ⁡ x n - x n sec 2 ⁡ x n - 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo, vamos usar x 1 = 4,5 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - tg ⁡ x 1 - x 1 sec 2 ⁡ x 1 - 1 ≈ 4,493614

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - tg ⁡ x 2 - x 2 sec 2 ⁡ x 2 - 1 ≈ 4,493410

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - tg ⁡ x 3 - x 3 sec 2 ⁡ x 3 - 1 ≈ 4,493409

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - tg ⁡ x 4 - x 4 sec 2 ⁡ x 4 - 1 ≈ 4,493409

Vamos agora calcular f ' 4,493409 para achar o valor da maior inclinação da reta:

f ' 4,493409 ≈ 0,217234

A inclinação da reta com a máxima inclinação é f ' 4,493409 ≈ 0,217234 .

Resposta

A inclinação da reta com a máxima inclinação é f ' 4,493409 ≈ 0,217234 .

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