Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 53b
A partir da Figura 19 parece que a limaçon perde sua covinha quando . Demonstre isto.
Passo 1
O que faz a covinha acontecer são os valores de diminuírem ao chegarem próximo do eixo , no ângulo .
Para demonstrar quando isso ocorre, vamos usar o fato de que se a covinha existe é um ponto de máximo, então a segunda derivada de , que nos diz sobre a concavidadade da função, tem que ser negativa, para termos um ponto de máximo. Então só precisamos achar para qual valor de a segunda derivada fica positiva, indicando que não tem mais covinha.
Passo 2
Para calcular a segunda derivada de , precisamos primeiro achar primeiramente.
Usando , podemos substituir a equação do limaçon
Fazendo a distributiva
Passo 3
Calculando agora a primeira derivada
E a segunda derivada
Podemos simplificar usando
Em
E para que isso seja negativo
Somando dos dois lados
Dividinso por
Portanto para que a covinha apareca, invertendo a inequação
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)