Enunciado

A partir da Figura 19 parece que a limaçon perde sua covinha quando c = 1 2 . Demonstre isto.

Passo 1

O que faz a covinha acontecer são os valores de r diminuírem ao chegarem próximo do eixo y , no ângulo 3 π 2 .

Para demonstrar quando isso ocorre, vamos usar o fato de que se a covinha existe θ = 3 π 2 é um ponto de máximo, então a segunda derivada de y , que nos diz sobre a concavidadade da função, tem que ser negativa, para termos um ponto de máximo. Então só precisamos achar para qual valor de c a segunda derivada fica positiva, indicando que não tem mais covinha.

Passo 2

Para calcular a segunda derivada de y , precisamos primeiro achar y primeiramente.

Usando y = r ⋅ sen ⁡ θ , podemos substituir a equação do limaçon r = 1 + c sen ⁡ θ

y = 1 + c sen ⁡ θ sen ⁡ θ

Fazendo a distributiva

y = sen ⁡ θ + c sen 2 ⁡ θ

Passo 3

Calculando agora a primeira derivada

d y d θ = cos ⁡ θ + c ⋅ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E a segunda derivada

d 2 y d θ 2 = - sen ⁡ θ + 2 c ( cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ )

Podemos simplificar usando cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

d 2 y d θ 2 = - sen ⁡ θ + 2 c cos ⁡ 2 θ  

Em θ = 3 π 2

- sen ⁡ 3 π 2 + 2 c cos ⁡ 2 3 π 2 = - - 1 + 2 c ( - 1 )  

1 - 2 c

E para que isso seja negativo

1 - 2 c < 0

Somando 2 c dos dois lados

1 < 2 c

Dividinso por 2

1 2 < c

Portanto para que a covinha apareca, invertendo a inequação

c > 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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