Enunciado

No Exemplo 11 os gráficos sugerem que a limaçon r = 1 + c sen ⁡ θ tem um laço interno quando c > 1 . Demonstre que isso é verdadeiro e encontre os valores de θ que correspondam ao laço interno.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade.

Aqui nos é dito que a limaçon, com equação:

r = 1 + c sen ⁡ θ

E gráfico abaixo, possui um laço interno quando:

c > 1

Devemos então provar que isso é verdade.

Para demonstrarmos isso precisamos entender o que causa esse laço interno.

O laço interno é causado por valores negativos de r que fazem com que a curva se desloque ao sentido oposto ao da angulação de θ .

Sabendo que o laço é causado por valores negativos de r precisamos provar que nossa função só assume valores negativos para c > 1 .

Passo 2

Seja:

r = 1 + c sen ⁡ θ

Vamos lá, dando uma olhada na equação temos uma constante 1 somando uma função de θ que é c sen ⁡ θ , quando que teremos valores negativos de r ?

Ou seja, quando que r < 0 ? Quando 1 + c sen ⁡ θ < 0 , manipulando essa inequação vamos descobrir que

c sen ⁡ θ < - 1

Sabemos que o sen ⁡ θ tem valor limitado entre - 1 e 1 . Pra deixar mais bonito podemos escrever assim:

sen ⁡ θ ∈ [ - 1,1 ]

Se multiplicarmos por c chegamos à conclusão de que se c for positivo,

c sen ⁡ θ ∈ [ - c , c ]

ou seja c sen ⁡ θ varia de - c até c .

Já que queremos que c sen ⁡ θ seja menor que - 1 , faz sentido analisarmos o menor valor de c sen ⁡ θ , para que o laço apareça. Então, seguindo essa lógica o menor valor - c , tem que ser menor que - 1

- c < - 1

Multiplicando por - 1 , lembrando que em uma inequação, se fizermos isso temos que inverter a comparação

c > 1

Mas isso só vale porque analisamos para valores positivos de c , se c for negativo então c sen ⁡ θ varia de c até - c e o menor valor possível seria o próprio c . Então se c for negativo

c < - 1

Podemos aqui também multiplicar por - 1 para acharmos uma forma mais geral

- c > 1

Então concluímos que:

  • Se c > 0 :
  • c > 1

  • Se c < 0 :

- c > 1

Já que dependendo do sinal de c , temos sinais diferentes também na inequação, o que realmente importa é o valor absoluto de c , ou seja, seu módulo:

c > 1

Passo 3

Para descobrir os valores de θ que são responsáveis pelo laço vamos usar os limites dos valores negativos de r , esses valores começam após

c sen ⁡ θ = - 1

Dividindo por c

sen ⁡ θ = - 1 c

Aplicando a função inversa do seno

θ 1 = arcsen ⁡ - 1 c

O outro limite, quando r volta a ser positivo acontece no seu ângulo suplementar. Sabemos que se a e b são suplementares, a + b = π então nosso outro valor de θ é

θ 2 = π - arcsen ⁡ - 1 c

O laço acontece entre os ângulos θ 1 e θ 2 .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada em um ponto especificado pelo valor de θ . r = 2 + s e n 3 θ , θ = π / 4
Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.) r = l n θ,1 ≤ θ ≤ 6 π ; r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 8 π ; r = c o s 3 θ ; r
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Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.) r = l n θ,1 ≤ θ ≤ 6 π ; r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 8 π ; r = c o s 3 θ ; r