Enunciado

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A região de integração é um disco perfurado centrado na origem.

Escrevendo em coordenadas polares, temos:

R = r , θ | 0 < r ≤ 100 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Como o aspersor distribui a água em uma região circular de raio de 100   p é s , vamos usar a fórmula de mudança de coordenadas polares para integrais duplas.

Passo 2

Vamos considerar z = e - r . Portanto:

∫ 0 2 π ∫ 0 100 r e - r d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 100 r e - r d r = - r e - r - ∫ - e - r d r 0 100

∫ 0 100 r e - r d r = - r e - r - e - r 0 100

∫ 0 100 r e - r d r = - e - 100 1 + 100 - e 0 0 + 1

∫ 0 100 r e - r d r = - 101 e - 100 - 1

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 100 r e - r d r d θ = ∫ 0 2 π - 101 e - 100 - 1 d θ

Resolvendo, temos:

∫ 0 2 π - 101 e - 100 - 1 d θ = - 101 e - 100 - 1 2 π

∫ 0 2 π - 101 e - 100 - 1 d θ = 2 π 1 - 101 e - 100

Quantidade total de água.

Passo 3

Item b:

O valor médio é dado por:

f m é d = 1 A D ∬ D f d A

A área A D é dada por:

A D = ∫ 0 2 π ∫ 0 R r d r d θ

Resolvendo de dentro para fora, temos:

A D = R 2 2 2 π

A D = π R 2

Portanto, a média será:

f m é d = 1 π R 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 R r e - r d r d θ

Resolvendo de dentro para fora, temos:

∫ 0 R r e - r d r = - r e - r - e - r 0 R

∫ 0 R r e - r d r = - R e - R - e - R - - 0 e - 0 - e - 0

∫ 0 R r e - r d r = - R e - R - e - R + 1

Logo:

1 π R 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 R r e - r d r d θ = 1 π R 2 ∫ 0 2 π = - R e - R - e - R + 1 d θ

1 π R 2 ∫ 0 2 π = - R e - R - e - R + 1 d θ = 1 π R 2 1 - R e - R - e R 2 π

f m é d = 2 R 2 1 - e - R R + 1

Resposta

a ) 2 π 1 - 101 e - 100  

b ) f m é d = 2 R 2 1 - e - R R + 1

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Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região por x + y = 4 , x + y = 0 , y - x = 0 e y - x = - 1 .
Considere a transformação x , y =φ θ ,ρ dada por x = ρ cos ⁡ θ e y = ρ s e nθ . Desenhe o conjunto ϕ ( B ) onde B é o retângulo 1 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡
Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais: ∫ ∫ D d xd y 1 + x 2 + y 2 2 , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 }
Determine a parea da lemniscata x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9