Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 36
Uma piscina circular tem diâmetro de metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
A região de integração é um disco perfurado centrado na origem.
Escrevendo em coordenadas polares, temos:
Como o aspersor distribui a água em uma região circular de raio de , vamos usar a fórmula de mudança de coordenadas polares para integrais duplas.
Passo 2
Vamos considerar . Portanto:
Resolvendo a integral de dentro, temos:
Logo:
Resolvendo, temos:
Quantidade total de água.
Passo 3
Item b:
O valor médio é dado por:
A área é dada por:
Resolvendo de dentro para fora, temos:
Portanto, a média será:
Resolvendo de dentro para fora, temos:
Logo: