Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região por x + y = 4 , x + y = 0 , y - x = 0 e y - x = -1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x + y = u e y - x = v

Isolando x e y , temos

x = 1 2 ( u - v ) e y = 1 2 ( u + v )

O jacobiano dessa transformação será igual a 1 2 :

J = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 = 1 4 + 1 4 = 1 2

A nova região se dará como um retângulo com:

u = 0 , u = 4 , v = 0 e v = - 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ 1 2 u - v + 1 2 u + v ⋅ 1 2 d u d v = 1 2 ∬ u d u d v

1 2 ∫ - 1 0 ∫ 0 4 u d u d v

Passo 3

Integrando para u :

1 2 ∫ 0 4 u d u = u 2 4

Aplicando os limites:

16 - 0 ⋅ 1 4 = 4    

Passo 4

Integrando para v :

∫ - 1 0 4 d v = 4 v

Aplicando os limites:

0 + 1 ⋅ 4 = 4  

Resposta

4

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