Enunciado

Determine a parea da lemniscata ((x^2)/(4) + (y^2)/(9))^2 = (x^2)/(4) - (y^2)/(9)

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos que relembrar as formulinhas que vimos nas explicações da matéria:

int int_D f (x , y) d x d y

= int int_Q f (x (u , v) , y (r , theta)) |(del (x , y))/(del (r , theta))| d r d theta

Onde temos que:

r^2 = x^2 + y^2

x = r cos theta

y = r sin theta

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

|(del (x , y))/(del (r , theta))| = det |[[(del x)/(del r),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del r),(del y)/(del theta)]]|

Então, colocamos os valores:

det |[[2,cos theta,-,2,r,sin theta],[3,sin theta,3,r,cos theta]]| = [(2 cos theta * 3 r cos theta) - (- 2 r sin theta * 3 sin theta)]

Vamos resolver essa equação:

[(2 cos theta * 3 r cos theta) - (- 2 r sin theta * 3 sin theta)] = [(2 cos theta * 3 r cos theta) + (2 r sin theta * 3 sin theta)]

= 6 r cos^2 theta + 6 r s e n^2 theta = 6 r (c o s^2 theta + s e n^2 theta)

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que c o s ² theta + s e n ² theta = 1 , logo,

det |[[2,cos theta,-,2,r,sin theta],[3,sin theta,3,r,cos theta]]| = 6 r (1) = 6 r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = int int_Q 1 * (6 r) d r d theta

int int_Q 6 r d r d theta

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

((x^2)/(4) + (y^2)/(9))^2 = (x^2)/(4) - (y^2)/(9)

E a gente tem as equações:

x^2 + y^2 = r^2

x = r cos theta

y = r sin theta

Então nossa região em Q fica:

0 <= r <= sqrt(cos 2 theta)

- (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(4)

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) int_0^(sqrt(cos 2 theta)) 6 r d r d theta

Integramos a primeira vez:

A = int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) [(6 r^2)/(2)]_0^(sqrt(cos 2 theta)) d theta

= (6)/(2) int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) cos 2 theta d theta

E integramos denovo:

A = 3 [(sin 2 theta)/(2)]_(- (pi)/(4))^((pi)/(4))

= 3 ((1)/(2) - (- (1)/(2)))

= 3 (1) = 3

Só temos mais um detalhe antes de acabar: essa é a integral apenas para x >= 0 , pois pegamos o intervalo de - (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(4) . Para contabilizar o outro quadrante, precisamo multiplicar o resultado por 2, ainda! Assim, a área total será 6 .

E prontinho. 😊

Resposta

6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A , onde D é a região delimitada do primeiro quadrante compreendida entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
4)Calcular ∬_R^() (d x d y)/((1 + x^2 + y^2)^((3)/(2))) onde R é a região da Figura 7.35.
2)Calcular ∬ R sen ⁡ x 2 + y 2d xd y onde R é a região da Figura 7.33.