Determine a parea da lemniscata ((x^2 / 4) + (y^2 / 9))^2 = (x^2 / 4) - (y^2 / 9)

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos que relembrar as formulinhas que vimos nas explicações da matéria:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ 2 cos ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ 3 sin ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ * 3 r cos ⁡ θ - - 2 r sin ⁡ θ * 3 sin ⁡ θ

Vamos resolver essa equação:

2 cos ⁡ θ * 3 r cos ⁡ θ - - 2 r sin ⁡ θ * 3 sin ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ * 3 r cos ⁡ θ + 2 r sin ⁡ θ * 3 sin ⁡ θ

= 6 r cos 2 ⁡ θ + 6 r   s e n 2 θ = 6 r c o s 2 θ + s e n 2 θ

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que c o s ² θ + s e n ² θ = 1 , logo,

det ⁡ 2 cos ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ 3 sin ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ = 6 r 1 = 6 r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q 1 ⋅ 6 r d r d θ

∫ ∫ Q 6 r   d r d θ

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então nossa região em Q fica:

0 ≤ r ≤ cos ⁡ 2 θ

- π 4 ≤ θ ≤ π 4

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ 6 r   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ - π 4 π 4 6 r 2 2 0 cos ⁡ 2 θ   d θ

= 6 2 ∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 θ   d θ

E integramos denovo:

A = 3 sin ⁡ 2 θ 2 - π 4 π 4

= 3 1 2 - - 1 2

= 3 1 = 3

Só temos mais um detalhe antes de acabar: essa é a integral apenas para x ≥ 0 , pois pegamos o intervalo de - π 4 ≤ θ ≤ π 4 . Para contabilizar o outro quadrante, precisamo multiplicar o resultado por 2, ainda! Assim, a área total será 6 .

E prontinho. 😊

Resposta

6

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