Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y

C é um triângulo com os vértices 0,0 , 2 , 1   e   0 , 1 .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∬ ∂ ∂ x x 2 - y 2 - ∂ ∂ y x 2 + y 2 d A

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 ∫ x 2 1 ( 2 x - 2 y ) d y d x

Vamos resolver primeiro pra y !

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 2 x y - 2 y 2 2 x / 2 1

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 2 x x 2 - x 2 2 - 2 x 1 - 1 2   d x

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 x 2 - x 2 4 - 2 x + 1 d x

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 ( 3 x 2 2 - 2 x + 1 ) d x

Integrando, agora, em x :

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = x 3 4 - x 2 + x 0 2

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = 0

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = 0

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4 ) Calcule ∮ γ Fd γ onde γ é uma curva fechada, simples, C 1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e Fx , y= 2 x + y i + 3 x - y j
3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a0 e b0.
6) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva fechada, C1 por partes, simples, fronteira de umconjunto B, cujo interior contém o círculo x 2+y 2≤1 . (Sugestão. Apliqueo teorema
8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o
11 ) Faça uma lista de conjuntos para os quais você acha que o teorema deGreen se aplica. Justifique.