Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 6
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é um triângulo com os vértices .
Passo 1
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
Passo 2
Usando o Teorema de Green, podemos escrever:
Vamos resolver primeiro pra !
Integrando, agora, em :
Resposta
A integral de linha é igual a:
Exercícios de Livros Relacionados
4 ) Calcule ∮ γ Fd γ onde γ é uma curva fechada, simples, C 1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e Fx , y= 2 x + y i + 3 x - y j
3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a0 e b0.
6) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva fechada, C1 por partes, simples, fronteira de umconjunto B, cujo interior contém o círculo x 2+y 2≤1 . (Sugestão. Apliqueo teorema
8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o
11 ) Faça uma lista de conjuntos para os quais você acha que o teorema deGreen se aplica. Justifique.