Enunciado

Como podemos reconhecer se um problema pode ser resolvido utilizando o Teorema de Pappus? Ou seja, quais são as “pistas” e as “incógnitas” que poderiam sugerir uma tal solução? Discuta dois ou três exemplos.

Passo 1

Cara, ele quer os bizus para identificar uma questão de Teorema de Pappus. O Teorema diz que:

V = 2 π A d

Onde A é a região do plano a ser rotacionada, V e o volume obtido por essa rotação em torno de um eixo e d é a distância do centroide até o eixo de rotação.

O bizu é: temos aí 3 variáveis, se a questão te der duas delas, e pedir a terceira, usa o Teorema. Normalmente a questão ou pede o volume ou o centroide.

Vamos ver um exemplo para cada situação.

Passo 2

Um exemplo onde o volume de um sólido de rotação foi pedido no exercício onde a gente precisava achar o volume de um toro elíptico.

A gente tinha a equação da elipse, daí a gente tirava a distância d do centroide até o eixo de rotação. E sabíamos que a área da elipse era:

A = π a b

Era só jogar na fórmula e achar o volume.

Passo 3

O segundo caso que a gente pode discutir é o exercício onde precisávamos achar o centroide de um semicírculo de raio a , sabendo que o volume da esfera é:

V = 3 4 π a 3

Nós olhamos esse problema pensando como a esfera poderia ser obtida girando o semicírculo em torno de um eixo, o eixo x . Nesse caso, tínhamos o volume e a conseguíamos a área do semicírculo:

A = π a 2 2

E d , na real, era a própria coordenada que faltava do centroide, a y - . Olha na figura:

Nossa equação ficava assim:

V = 2 π A   y -

Era só substituir tudo e isolar y - .

Resposta

Discussão nos passos

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Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico. f x = s e nx ; e m[ - π , π ]
Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico. f x = 2 x + 5 ,- 1 ≤ x0 5 ,0 ≤ x ≤ 1 ,e m[ - 1,1 ]
Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico. f x = s e nx + s e nx ; e m[ - π , π ]
Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico. f x = x - x 2 ; e m[ - 1,1 ]
Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico. f x = s e nx + | cos ⁡ x | ; e m[ - π , π ]