18. Um fazendeiro quer uma cerca em um lote retangular de terra adjacente á parede norte de seu celeiro. Nenhuma cerca é necessária ao longo do celeiro e a cerca ao longo do lado oeste do lote é compartilhada com um vizinho que vai dividir o custo daquela parte da cerca. Se a cerca custa $ 30 por metro linear para instalar e o fazendeiro não está disposto a gastar mais do que $ 1.800, encontre as dimensões do lote que englobaria a maior área.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui a gente tem um probleminha:
Um fazendeiro quer cercar um lote retangular adjacente à parede norte de seu celeiro. A cerca só é necessária nos lados leste e sul, e no lado oeste o fazendeiro vai dividir com o vizinho o valor.
O custo de instalação da cerca é por metro linear e o fazendeiro tem um orçamento máximo de .
Sabendo disso a gente tem que encontrar as dimensões do lote que englobaria a maior área com o custo limite de !
Antes de qualquer coisa vamos desenhar pra ficar mais claro:
Precisamos de uma função que relacione os lados e a área do terreno com o custo de . Depois vamos usar derivada para calcular a área máxima!
Passo 2
Vamos detalhar o custo da cerca:
- Oeste: Custo compartilhado de por metro;
- Leste : custo de por metro;
- Frente : custo de por metro.
Dessa forma, o custo total é:
A nossa restrição é de , portanto:
E a área do lote é:
Queremos maximizar a área , sujeita à restrição de custo.
Passo 3
Vamos começar resolvendo nossa restrição para :
Substituindo na equação da área:
Simplificando:
Passo 4
Para maximizar, vamos derivar e igualar a zero:
Com isso, a gente substitui o valor de em :
Dessa forma, as dimensões são:
E a área total será de: