Enunciado

18. Um fazendeiro quer uma cerca em um lote retangular de terra adjacente á parede norte de seu celeiro. Nenhuma cerca é necessária ao longo do celeiro e a cerca ao longo do lado oeste do lote é compartilhada com um vizinho que vai dividir o custo daquela parte da cerca. Se a cerca custa $ 30 por metro linear para instalar e o fazendeiro não está disposto a gastar mais do que $ 1.800, encontre as dimensões do lote que englobaria a maior área.

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui a gente tem um probleminha:

Um fazendeiro quer cercar um lote retangular adjacente à parede norte de seu celeiro. A cerca só é necessária nos lados leste e sul, pois o lado oeste é compartilhado com um vizinho. O custo de instalação da cerca é R $ 30 por metro linear e o fazendeiro tem um orçamento máximo de R $ 1.800 .

Sabendo disso a gente tem que encontrar as dimensões do lote que englobaria a maior área com o custo limite de R $ 1800 !

Antes de qualquer coisa vamos desenhar pra ficar mais claro:

Precisamos de uma função que relacione os lados x e y a área do terreno com o custo de R $ 1800 . Depois vamos usar derivada para calcular a área máxima!

Passo 2

Temos um orçamento de R $ 1800 e o metro da cerca custa R $ 30 , vamos calcular quantos metros podemos comprar com o nosso orçamento:

L = 1800 30 = 60   m

Temos o comprimento de cerca que vamos comprar, então podemos dizer que:

x + y = 60

A área do terreno pode ser dada por:

A = x y

Substituindo:

A = x 60 - x

Passo 3

Para achar a área máxima precisamos derivar a função que encontramos e igualala a zero:

A = - x 2 + 60 x

A ' = - 2 x + 60

Igualando a zero:

- 2 x + 60 = 0

x = 30

Substituindo na fórmula da área:

A = x 60 - x = 30 60 - 30

A = 900   m 2

Agora só falta calcular o y :

y = 60 - 30 = 30   m

Resposta

x = 30 ,   y = 3 0 ,   A = 9 00 m ²

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