18. Um fazendeiro quer uma cerca em um lote retangular de terra adjacente á parede norte de seu celeiro. Nenhuma cerca é necessária ao longo do celeiro e a cerca ao longo do lado oeste do lote é compartilhada com um vizinho que vai dividir o custo daquela parte da cerca. Se a cerca custa $ 30 por metro linear para instalar e o fazendeiro não está disposto a gastar mais do que $ 1.800, encontre as dimensões do lote que englobaria a maior área.

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui a gente tem um probleminha:

Um fazendeiro quer cercar um lote retangular adjacente à parede norte de seu celeiro. A cerca só é necessária nos lados leste e sul, e no lado oeste o fazendeiro vai dividir com o vizinho o valor.

O custo de instalação da cerca é R $ 30 por metro linear e o fazendeiro tem um orçamento máximo de R $ 1.800 .

Sabendo disso a gente tem que encontrar as dimensões do lote que englobaria a maior área com o custo limite de R $ 1800 !

Antes de qualquer coisa vamos desenhar pra ficar mais claro:

Precisamos de uma função que relacione os lados x e y a área do terreno com o custo de R $ 1800 . Depois vamos usar derivada para calcular a área máxima!

Passo 2

Vamos detalhar o custo da cerca:

  • Oeste y : Custo compartilhado de 30 2 = 15 por metro;
  • Leste y : custo de 30 por metro;
  • Frente x : custo de 30 por metro.

Dessa forma, o custo total C é:

C = 15 y + 30 y + 30 x ∴

C = 30 x + 45 y

A nossa restrição é de $   1800 , portanto:

30 x + 45 y ≤ 1800

E a área A do lote é:

A = x y

Queremos maximizar a área A , sujeita à restrição de custo.

Passo 3

Vamos começar resolvendo nossa restrição para x :

30 x + 45 y = 1800 ∴

x = 1800 - 45 y 30

Substituindo na equação da área:

A = 1800 - 45 y 30 y

Simplificando:

A = 60 y - 1,5 y 2

Passo 4

Para maximizar, vamos derivar A e igualar a zero:

d A d y = 60 - 3 y ∴

60 - 3 y = 0 ∴

y = 20

Com isso, a gente substitui o valor de y em x :

x = 1800 - 45 20 30 ∴

x = 30

Dessa forma, as dimensões são:

x = 30   m

y = 20   m

E a área total será de:

A = 20 ⋅ 30 ∴

A = 600   m 2

Resposta

x = 30   m

y = 20   m

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