Enunciado

Em que ponto a curva x = t 3 , y = 3 t , z = t 4 o plano normal é paralelo ao plano 6 x + 6 y - 8 z = 1 ?

Passo 1

Quando dois planos são paralelos? Quando suas normais são iguais, ou uma é múltipla da outra, então temos que a normal do plano normal n tem que ser múltipla da normal do plano dado, sendo que basta pegar os coeficientes na equação do plano então

n = k ( 6,6 , - 8 )

Onde k é uma constante real.

Passo 2

Agora o vetor normal ao plano normal, nada mais é do que o vetor tangente a curva, então se temos a curva

r t = ( t 3 , 3 t , t 4 )

O vetor tangente é

r ' t   = ( 3 t 2 , 3 , 4 t 3 )

Passo 3

Então precisamos achar t tal que

3 t 2 , 3 , 4 t 3 = k ( 6,6 , - 8 )

Para todo k , montando o sistema

3 t 2 = 6 k 3 = 6 k 4 t 3 = - 8 k

Pela segunda equação conseguimos tirar que

3 = 6 k

k = 1 2

Substituindo nas equações restantes

3 t 2 = 3 ⇒ t 2 = 1 4 t 3 = - 4 ⇒ t 3 = - 1

O único t que satisfaz o sistema é t = - 1 , então o ponto que buscamos é

x = ( - 1 ) 3 = - 1

y = 3 - 1 = - 3

z = ( - 1 ) 4 = 1

O ponto é ( - 1 , - 3,1 ) .

Resposta

( - 1 , - 3,1 )

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Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. x = t 2 - 1 y = t 2 + 1 z = t + 1 ( - 1,1 , 1 )
Determine o comprimento da curva dada. r t = 2ti+etj+e- tk , 0≤t≤1
Determine o comprimento da curva dada. r t =2 sin ⁡ t ,5 t , 2 cos ⁡ t - 10 ≤ t ≤ 10
Determine o comprimento da curva dada. r t =12 i + 8 t 3 / 2 j + 3 t 2 k 0 ≤ t ≤ 1
Escreva o enunciado aqui.