Enunciado

Encontre uma função f tal que f ' x = x 3 e tal que a reta x + y = 0 seja tangente ao gráfico de f .

Passo 1

E aí, pessoal!

Bom, galera... nesse exercício estamos interessados em encontrar uma função f que obedeça às seguintes condições:

f ' x = x 3

E a reta tangente ao gráfico de f seja:

x + y = 0

Para isso, utilizaremos os conceitos de antiderivada e de reta tangente a uma curva!

Bora lá?! 😬

Passo 2

No enunciado, vimos que a nossa função deve obedecer a seguinte condição

f ' x = x 3

Dessa forma, podemos encontrar f ( x ) utilizando o conceito de antiderivada e a regra da potência, de modo que:

f x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

  f ' x = x 3 → f x = x 4 4 + C

Podemos tirar a prova derivando f ( x ) :

f ' x = x 3

Dessa forma, nossa função f ( x ) é a antiderivada de f ' ( x ) e obedece a condição apresentada.

Veja só! 😉

Passo 3

Queremos agora encontrar a constante C da equação de f ' ( x ) . A outra condição apresentada é a reta tangente ao gráfico de f ( x )

y + x = 0

y = - x

Sabemos, por definição, que f ' ( x ) é igual ao coeficiente angular da reta tangente a f   x em determinado ponto. Observando a reta acima temos:

m = - 1

f ' x = - 1

Agora podemos achar o ponto x , y onde a reta tangente toca f x :

f ' x = x 3 = - 1

x = - 1

Agora para achar y substituímos na reta tangente:

y = - x = - - 1 = 1

Dessa forma, temos o ponto ( - 1 ,   1 ) . Substituindo em f ( x ) , podemos encontrar o valor da constante

f x = x 4 4 + C

f - 1 = ( - 1 ) 4 4 + C = 1

1 = 1 4 + C

C = 3 4

Então nossa função é:

f x = x 4 4 + 3 4

Prontinhoo! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f x = x 4 4 + 3 4

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