Enunciado

Em que ponto o gráfico da função y = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 2 x tem tangente horizontal?. Esboçar o gráfico e analisar o resultado obtido.

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a   d a   r e t a   t a n g e n t e = f ' a

Onde a representa o ponto desejado.

Em uma reta horizontal, seu coeficiente de inclinação é 0 . Da mesma forma que podemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente fazendo a derivada da função e aplicando no ponto, podemos encontrar o ponto quando igualamos a derivada da função ao seu coeficiente angular.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva y x . Assim temos:

y = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 2 x

y ' x = 3 × 1 3 x 3 - 1 + 2 × - 3 2 x 2 - 1 + 1 × 2 x 1 - 1

y ' x = x 2 + - 3 x 1 + 2 x 0

y ' x = x 2 - 3 x + 2

A derivada de y x é y ' x = x 2 - 3 x + 2

Passo 3

O coeficiente da reta tangente será 0 . Com o coeficiente angular, podemos encontrar os pontos pelo qual essas retas tangentes passam. Para isso igualamos o coeficiente com a primeira derivada da curva:

0 = x 2 - 3 x + 2

Resolvendo por Bhaskara temos os pontos que satisfazem essa equação é quando: x = 1 e x = 2 .

Substituindo na equação da curva, teremos os pontos ( x   ,   y ) em que a curva tem tangente horizontal.

Para x = 1 :

y 1 = 1 3 1 3 - 3 2 1 2 + 2 1

y 1 = 1 3 - 3 2 + 2

y 1 = 5 6

Temos então que uma reta tangente passa pelo ponto 1   ,   5 6 .

Para x = 2 :

y 2 = 1 3 2 3 - 3 2 2 2 + 2 2

y 2 = 8 3 - 6 + 4

y 2 = 2 3

Temos então que a outra reta tangente passa pelo ponto 2   , 2 3 .

Passo 4

O gráfico da função e das retas tangentes e paralela é o seguinte:

Podemos perceber nesse gráfico que as retas tangentes passam por pontos de máximo ( A ) e mínimo I locais da função. Ou seja, toda vez que derivarmos uma função e igualamos a zero, vamos estar procurando pontos de máximo e mínimo na uma função.

Resposta

Ponto A = 1   ,   5 6

Ponto I = 2   , 2 3

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