Enunciado

Encontrar a equação das retas tangentes à curva y = x - 1 x + 1 que sejam paralelas à reta y = x . Usando uma ferramenta gráfico, esboçar o gráfico da curva, da reta dada e das tangentes encontradas.

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a   d a   r e t a   t a n g e n t e = f ' a

Onde a representa o ponto desejado.

Uma reta tangente a curva, que também é paralela a uma outra reta, terá o mesmo coeficiente angular. Assim, com o coeficiente da reta paralela, podemos igualar a primeira derivada da curva e encontra todos os pontos em que há uma reta tangente a curva que seja paralela a reta dada.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva y x . Para calcular a derivada de y ( x ) podemos usar a regra do cociente. Assim temos:

y = x - 1 x + 1

y ' x = x - 1 ' × x + 1 - x - 1 × x + 1 ' x + 1 2

y ' x = 1 × x + 1 - x - 1 × 1 x + 1 2

y ' x = x + 1 - x + 1 x + 1 2

y ' x = 2 x + 1 2

A derivada de y x é y ' x = 2 x + 1 2

Passo 3

O coeficiente da reta tangente será o mesmo que o da reta paralela y = x . Temos então que o coeficiente angular das retas tangente é 1 .

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta.

Com o coeficiente angular, podemos encontrar os pontos pelo qual essas retas tangentes passam. Para isso igualamos o coeficiente encontrado com a primeira derivada da curva:

1 = 2 x + 1 2

Resolvendo isso temos:

x + 1 2 = 2

x 2 + 2 x + 1 = 2

x 2 + 2 x - 1 = 0

Por Bhaskara temos os pontos que satisfazem essa equação é quando: x = - 1 - 2 e x = - 1 + 2 .

Substituindo na equação da curva, teremos os pontos ( x   ,   y ) para encontrar as retas tangentes.

Para x = - 1 - 2 :

y - 1 - 2 = - 1 - 2 - 1 - 1 - 2 + 1

y - 1 - 2 = - 2 - 2 - 2

Temos então que uma reta tangente tem coeficiente angular m = 1 é passa pelo ponto - 1 - 2   ,   - 2 - 2 - 2 .

Para x = - 1 + 2 :

y - 1 + 2 = - 1 + 2 - 1 - 1 + 2 + 1

y - 1 - 2 = - 2 + 2 2

Temos então que a outra reta tangente tem coeficiente angular m = 1 é passa pelo ponto - 1 + 2   ,   - 2 + 2 2 .

Passo 4

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

y = m x + c

Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear. Temos que o m = 1 e temos que uma reta passa pelo ponto - 1 - 2   ,   - 2 - 2 - 2 , e a outra passa pelo ponto - 1 + 2   ,   - 2 + 2 2 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c para cada uma das retas.

Para o ponto - 1 - 2   ,   - 2 - 2 - 2 :

- 2 - 2 - 2 = 1 - 1 - 2   + c

- 2 - 2 - 2 = - 1 - 2 + c

- 2 - 2 = 2 + 2 - c 2

c 2 = 2 + 2 + 2 + 2

c 2 = 2 2 + 4

c = 2 2 + 4 2

O coeficiente linear de uma reta é c = 2 2 + 4 2 , assim a equação da reta é:

y = x + 2 2 + 4 2

Para o ponto - 1 + 2   ,   - 2 + 2 2 :

- 2 + 2 2 = 1 - 1 + 2   + c

- 2 + 2 2 = - 1 + 2 + c

- 2 + 2 = - 2 + 2 + c 2

c 2 = 2 - 2 - 2 + 2

c 2 = 2 2 - 4

c = 2 2 - 4 2

O coeficiente linear de uma reta é c = 2 2 - 4 2 , assim a equação da reta é:

y = x + 2 2 - 4 2

Passo 5

O gráfico da função e das retas tangentes e paralela é o seguinte:

Resposta

y = x + 2 2 + 4 2

y = x + 2 2 - 4 2

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