Enunciado

Um ponto P no primeiro quadrante está na parábola y   =   x 2 . Expresse as coordenadas de P em função do ângulo de inclinação da reta que passa por P e pela origem.

Passo 1

Fala, galeraa! Pra esse exercício, nós temos que lembrar que a inclinação de uma reta no plano cartesiano é dado por m   =   Δ y Δ x   =   y   -   y o x   -   x o . O que ele quer é que você ache a equação dessa inclinação pra qualquer ponto e depois jogue na coordenada do ponto P( x , y ). Vou te mostrar como lá no Passo 2.

Passo 2

Olha como é o gráfico de y   = x 2 no primeiro quadrante:

E quando a gente passa uma reta qualquer que pegue a origem e um ponto P qualquer fica assim:

A inclinação dessa reta é dada por m   =   Δ y Δ x , onde   Δ y é a distância, na reta y , da origem até o ponto P e Δ x é a distância, na reta x , da origem até o ponto P. Olha só como fica:

Repara de a tangente ( t g θ   =   c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e ) também é   Δ y Δ x . Então, a inclinação da reta é a mesma coisa que a tangente do ângulo. Pra essa função   y   = x 2 :

t g θ   =   x 2 x , porque, pra qualquer x que eu pegar, o y vai ser sempre x 2 .

t g θ   =   x 2 x   =   x

Passo 3

Beleza. Nesse passo vamos achar o ponto P pra qualquer x . Você concorda comigo que, pra qualquer x que eu pegar, o y vai ser sempre x 2 ? Então o nosso ponto P vai ser P( x ,   x 2 ) pra qualquer x . Como, no Passo 2, a gente viu que, nesse caso, t g θ   =   x , onde tiver x vamos jogar t g θ .

P( x ,   x 2 ) P( t g θ , t g 2 θ ), onde θ é o ângulo de inclinação da reta.

É só isso gente!

Resposta

P( t g θ , t g 2 θ )

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