Enunciado

Mostre que a tangente à curva y = x 3 em qualquer ponto ( a ,   a 3 ) intercepta a curva novamente em um ponto em que o coeficiente angular é quatro vezes o coeficiente angular em ( a ,   a 3 ) .

Passo 1

Precisaremos primeiro achar a equação da reta tangente à curva em ( a , a 3 ) e em seguida achar qual outro pontos ela intercepta a curva e achar o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto para verificar a informação.

Passo 2

y = x 3

y ' = 3 x ²

No ponto ( a , a 3 ) :

y ' = 3 a ²

Usando a equação da reta y = a x + b e substituindo o ponto na equação:

y = 3 a 2 x + b

a 3 = 3 a 3 + b

b = - 2 a ³

Portanto a reta tangente possui equação y = 3 a 2 x - 2 a ³

Passo 3

Agora precisamos achar o outro ponto que a reta intercepta a curva e para isso montaremos um sistema usando a equação da reta e a equação da curva:

y = 3 a 2 x - 2 a 3     ,       ( I ) y = x 3     ,       ( I I )

Para resolver o sistema substituiremos a equação ( I I ) em ( I ) :

x 3 = 3 a 2 x - 2 a ³

Subtraindo a ³ dos dois lados temos:

x 3 - a 3 = 3 a ² ( x - a )

Usando o produto notável a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) :

x - a x 2 + x a + a 2 = 3 a ² ( x - a )

Que nos dá como resposta x = a , ou podemos cortar dos dois lados o ( x - a ) :

x 2 + a x + a 2 = 3 a 2

x 2 + a x - 2 a 2 = 0

E resolvendo a equação acima temos:

x = a e x = - 2 a

Resposta

Como x = a é o ponto dado que já sabemos que a reta cruza a curva, resta apenas o ponto x = - 2 a . Nesse ponto a reta tangente cruzará a curva. Falta apenas verificar que nesse ponto a derivada é 4 vezes maior

y ' = 3 x ²

y ' = 3 ( - 2 a ) ²

y ' = 12 a

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