Enunciado

Em que pontos na curva x = t 3 + 4 t , y = 6 t 2 a tangente é paralela à reta com equações x = - 7 t , y = 12 t - 5 ?

Passo 1

O exercício fornece uma curva parametrizada dada por

x = t 3 + 4 t ,                       y = 6 t 2

Queremos achar os pontos dessa curva nos quais a tangente é paralela à reta com equação

x = - 7 t ,                   y = 12 t - 5

A inclinação da reta é dada por

m r e t a = d y d t d x d t = 12 - 7 = - 12 7

Assim, queremos achar os pontos da curva que tem a mesma inclinação que a reta!

Passo 2

As inclinações da curva são dadas por

m = d y d x = d y d t d x d t = 12 t 3 t 2 + 4

Agora igualamos

m = m r e t a ⇒ 12 t 3 t 2 + 4 = - 12 7 ⇒ 7 t = - ( 3 t 2 + 4 )

Logo,

3 t 2 + 7 t + 4 = 0

Pronto, agora só falta resolver essa equação do segundo grau:

t = - 7 ± 49 - 48 6 = - 7 ± 1 6

Obtemos então

t = - 4 3             o u               t = - 1

Passo 3

Para t = 4 / 3 :

x = - 64 27 - 16 3 = - 208 27

y = 6 ⋅ 16 9 = 32 3

Já para t = - 1 :

x = - 1 - 4 = - 5

y = 6 ⋅ 1 = 6

Portanto, os pontos pedidos são

- 208 27 , 32 3             e             ( - 5 ,   6 )

Resposta

- 208 27 , 32 3             e             ( - 5 ,   6 )

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