Enunciado

Resolva as equações diferenciais nos Exercícios 9-22.

15-

x d y d x = e y + x   ,   x > 0

Passo 1

Assim como temos a propriedade de exponencial que:

a n a m = a n - m

Também temos:

a n × a m = a n + m

Então podemos escrever a equação da seguinte forma:

x d y d x = e y × e x

Agora separando as variáveis y das de x temos, porém mantendo d x e d y no numerador nós teremos:

e x x d x = d y e y

e x x d x = e - y d y

Passo 2

Aplicando a integral nos dois lados teremos:

∫ e x x d x = ∫ e - y d y

Fazendo a substituição na integral da esquerda como:

u = x

Nós teremos:

d u = 1 2 x d x

2 d u = d x x

Aplicando essa substituição na expressão temos:

∫ 2 e u d u = ∫ e - y d y

Também por substituição na integral do lado direito nós teremos:

2 e u + c = - e - y

Como u = x , voltar ao nosso domínio original:

e - y = - 2 e x + c

Passo 3

Isolando y nós teremos:

- y = l n ⁡ ( - 2 e x + c )

y = - l n ⁡ ( - 2 e x + c )

Resposta

y = - l n ⁡ ( - 2 e x + c )

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