Enunciado

Resolva as equações diferenciais nos Exercícios 9-22.

16-

( sec ⁡ x ) d y d x = e y + s e n   x

Passo 1

Assim como nas questões anteriores, podemos separar a função exponencial da seguinte forma:

( sec ⁡ x ) d y d x = e y × e s e n   x

Agora separando as variáveis x e y da maneira apropriada teremos:

d y e y = e s e n   x d x sec ⁡ x

Como sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x e 1 e y = e - y teremos:

e - y d y = cos ⁡ x   e s e n   x d x

Passo 2

Fazendo a integral nos dois lados teremos:

∫ e - y d y = ∫ cos ⁡ x   e s e n   x d x

Fazendo a substituição u = s e n   x temos que:

d u = cos ⁡ x   d x

O que nos dá condição de escrever a equação da seguinte forma:

- e - y = ∫ e u d u

O que dá:

- e - y = e u + c

Voltando para o domínio de x temos:

e - y = - e s e n   x + c

Passo 3

Isolando y teremos:

- y = l n ⁡ ( - e s e n x + c )

y = - l n ⁡ ( e - s e n   x + c )

Resposta

y = - l n ⁡ ( e - s e n   x + c )

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