Enunciado

Um pôster deve ter uma área de 180 pol² com uma borda de 1 polegada na base e nos lados, e uma borda de 2 polegadas em cima. Que dimensões darão a maior área impressa?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esse problema de otimização.

Em problemas de otimização como esse, devemos tentar representar a quantidade que queremos minimizar ou maximizar em função de um só parâmetro (nesse caso, largura x do pôster), para então analisar essa função e encontrar os extremos. A imagem mostra o pôster:

Vamos então tentar representar a área de impressão S , em cinza na figura, em função de x .

Passo 2

Primeiro vamos eliminar a variável y , que é a altura do pôster. Como a área é fixa em 180 pol², temos:

180 = x y

⇒ y = 180 x

Sendo x e y representados em polegadas. Agora vamos representar a área S . Ela tem altura

y - 1 - 2 = y - 3

e largura

x - 1 - 1 = x - 2

então a área é:

S = ( x - 2 ) ( y - 3 )

Colocamos agora apenas em função de x :

S x = x - 2 180 x - 3

= 180 - 3 x - 360 x + 6

⇒ S ( x ) = 186 - 3 x - 360 x

Passo 3

Agora temos a área de impressão em função de x , e devemos encontrar o máximo dessa função.

Como x é uma distância, deve ser um número positivo, então vamos investigar a função para x no intervalo ( 0 , + ∞ ) .

Podemos ter um ponto crítico se a derivada da função for zero ou não existir. Vamos derivar S x :

S ' x = - 3 + 360 x 2

Como essa função sempre existe para x > 0 , vamos investigar C ' x = 0 . Temos:

- 3 + 360 x 2 = 0

⇒ 360 x 2 = 3

⇒ x 2 = 120

⇒ x = 120 = 2 30   p o l

Repare que x = - 2 30 foi descartado pois x deve ser positivo. Agora devemos verificar se em x = 2 30   temos um valor máximo. Se x < 2 30 , podemos ver que S ' x   é positivo, então a função é crescente. Se x > 2 30 , S ' ( x ) é negativo e então a função é decrescente.

Como a função é crescente antes e decrescente depois de x = 2 30 , temos aí um ponto máximo.

Passo 4

Sabemos que x = 2 30   é um ponto máximo, mas agora devemos saber se é o máximo absoluto.

Como esse é o único ponto crítico, agora basta olhar a função nos extremos do intervalo. Devemos então olhar os casos em que x → 0 + e que x → + ∞ :

lim x → 0 + ⁡ 186 - 3 x - 360 x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ 186 - 3 x - 360 x = - ∞

Como a função vai a menos infinito nos extremos do intervalo e x = 2 30 é o único ponto máximo local, x = 2 30   é o ponto máximo absoluto. Vamos então calcular também o valor de y :

y = 180 x = 180 2 30 = 90 30 30 = 3 30   p o l

Resposta

Altura de 3 30 polegadas, largura de 2 30 polegadas .

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