Enunciado

O primeiro gráfico da figura a seguir é aquele que uma calculadora gráfica TI-83 exibe como função y = s e n   45 x . Ele está incorreto e, portanto, para ajudar a explicar sua aparência, redesenhamos a curva em questão no modo pontual da calculadora, obtendo o segundo gráfico.

Que duas curvas senoidais a calculadora parece estar desenhando? Mostre que cada ponto do gráfico de y = s e n   45 x que a TI-83 escolhe para desenhar, de fato, em uma dessas curvas.

Passo 1

Esse problema aqui é mais técnico e envolve o funcionamento de calculadoras gráficas. No caso, a janela da calculadora TI-83 é de 95 pixels de largura. Como queremos plotar o gráficos no intervalo [ 0 ,   2 π ] . Considerando o primento ponto marcado como x 0 = 0 e o último como x 94 = 2 π , existirão 94 intervalos entre pontos marcados pela calculadora. O tamanho desses intervalos será

Δ x = 2 π - 0 94 = 2 π 94

Assim, os valores plotados pela calculadora serão nos pontos

x n = 0 + n ⋅ Δ x = 2 π 94 ⋅ n ,               n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … ,   93 ,   94

Passo 2

Quando plotamos y = s e n   45 x , os 95 pontos plotados são:

2 π 94 ⋅ n ,   s e n   45 ⋅ 2 π 94 n

Mas note que,

s e n   45 ⋅ 2 π 94 n = s e n   47 - 2 2 π 94 ⋅ n = s e n   n π - 2 ⋅ 2 π 94 n

Assim, como s e n   a - b = s e n   a cos ⁡ b - s e n   b cos ⁡ a :

s e n   45 ⋅ 2 π 94 n = s e n   n π cos ⁡ 2 ⋅ 2 π 94 ⋅ n - s e n   2 ⋅ 2 π 94 ⋅ n cos ⁡ ( n π )

Logo,

s e n   45 ⋅ 2 π 94 n = ± s e n   2 ⋅ 2 π 94 ⋅ n

Portanto, os pontos marcados para a curva y = s e n   45 x são os mesmos que os marcados para as curvas:

y = ± s e n   2 x

Resposta

y = ± s e n   2 x

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