Enunciado

Neste exercício, consideramos a família de funções f x = x n , onde n é um inteiro positivo.

a) Faça os gráficos das funções y = x , y = x 4 e y = x 6 , na mesma tela usando a janela retangular [ - 1 ,   4 ] por [ - 1 ,   3 ] .

b) Faça os gráficos das funções y = x , y = x 3 e y = x 5 na mesma tela usando a janela retangular [ - 3 ,   3 ] por [ - 2 ,   2 ] .

c) Faça os gráficos das funções y = x , y = x 3 , y = x 4 e y = x 5 na mesma tela usando a janela retangular [ - 1 ,   3 ] por [ - 1 ,   2 ] .

d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foram dadas uma família de funções do tipo y = x n e nosso objetivo é esboçar o gráfico de cada uma das função em uma janela x 0 ; x 1 ,   y 0 ; y 1 que é dada em cada família.

Entendeu alguma coisa??

Sabemos que o gráfico da função y = x é dado por

O valor de n em y = x n influencia na acentuação do gráfico, ou seja, quanto maior n , mais horizontal e mais brusco será subida.

Nessa família de funções, tem duas coisas que sempre acontecem... o gráfico sempre passa em 0,0 e sempre passa pelo ponto 1,1 . Além disso, se n for par, a função será definida apenas em x ≥ 0 , mas se n for impar, a função é definida em todos os reais.

A janela que é mencionada no problema, nada mais é que o intervalo de x e y que estamos interessados.

Veja só!

Passo 2

No item (a) devemos esboçar o gráficos das funções y = x , y = x 4 e y = x 6 na janela [ - 1 ,   4 ] por [ - 1 ,   3 ] :

A primeira função é exatamente a função que já sabemos esboçar. Mas y = x 4 será um pouco mais brusco na subida até 1,1 e depois será um pouco mais horizontal.

y = x 6 terá as mesmas características e ainda mais acentuada com relação a y = x 4 .

Tudo isso na janela x = - 1,4 e y = - 1,3 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

No item (b), devemos plotar as funções y = x , y = x 3 e y = x 5 na janela [ - 3 ,   3 ] por - 2 ,   2 :

No caso de y = x , seria como se fosse n = 1 , então ele tambem faz parte da mesma família...

Porem, sabemos que y = x é uma reta que como vimos no passo 1, se faz parte dessa família, passa por 0,0 e 1,1 .

Em y = x 3 e em y = x 5 vamos ter as mesmas características que pontuamos no passo anterior, lembrando que quanto maior n , mais forte serão essas características.

A diferença é que agora, como n são ímpares, a função está definida tanto para x positivo quento para x negativo.

Show?

Passo 4

No item c) queremos esboçar os gráficos das funções y = x , y = x 3 , y = x 4 e y = x 5 na janela retangular [ - 1 ,   3 ] por [ - 1 ,   2 ] .

Já esboçamos todas essas funções anteriormente, então é só copiar para a nova janela...

Bacana, não é?

Passo 5

Por fim, temos que concluir o que foi possivel tirar dos gráficos da família y = x n , para n > 0 .

O que podemos concluir são que essa família de funções sequem características interessantes...

Vemos que para n par, apenas a parte x ≥ 0 é definida, enquanto para n ímpar a parte negativa do eixo x pode ser definida.

Além disso, a função cresce mais para x grande quando n é menor e sempre passa pelos pontos 0,0 e 1,1

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

Esboço de gráfico.

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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = 1 +2. cos ⁡ x
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