Enunciado

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região.

y - x . y ' = y + x

Passo 1

Nos problemas de 1 a 10, vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação y - x . y ' = y + x

d y d x = y + x y - x

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = y + x y - x

E, nesse caso, usando a regra do quociente:

∂ f ∂ y = - 2 x ( y - x ) ²

Que não está definida para os valores que zeram o denominador:

( y - x ) ² ≠ 0

y - x ≠ 0

y ≠ x

Então, a equação diferencial y - x . y ' = y + x vai ter solução única em qualquer região onde y < x ou y > x

Resposta

y < x ou y > x

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