Enunciado

Seja ϕ n x = x n para 0 ≤ x ≤ 1 e mostre que

lim n → ∞ ⁡ ϕ n x = 0 ,       0 ≤ x < 1 1 ,     x = 1

Esse exemplo mostra que uma sequência de funções contínuas pode convergir a uma função limite que é descontínua.

Passo 1

Nesse exercício, vamos aplicar os conceitos de limite na expressão e analisar se nas condições descritas, a função ϕ n ( x ) realmente tende para os valores descritos. Vamos resolver juntos!

Passo 2

Podemos notar que para ϕ n 0 = 0 e para ϕ n 1 = 1 . Ou seja, é uma função que é descontínua. Vamos supor um a sendo que 0 ≤ a < 1 , assim ficando com

ϕ n a = a n

Se aplicarmos o limite a essa função para n ≥ 1 , vamos ter que:

lim n → ∞ ⁡ a n

Como nosso valor para a está de zero a um, mas sem incluir o um, teremos que esse limite será

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

E, como já foi definido, para ϕ n 1 = 1 para qualquer n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. ( l nt ) y ' + y = c o tt , y 2 = 3
Em cada um dos problemas de 7 a 12, diga onde, no plano ty, as hipóteses do Teorema 2.4.2 são satisfeitas. d y d t =( c o tt ) y 1+ y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, diga onde, no plano ty, as hipóteses do Teorema 2.4.2 são satisfeitas. y ' =(t 2 +y 2 ) 3 / 2
Em cada um dos problemas de 17 a 20, desenhe um campo de direções e desenhe (ou esboce) gráficos de diversas soluções da equação diferencial dada. Descreva como as soluções parecem se comportar quando
Em cada um dos problemas de 7 a 12, diga onde, no plano ty, as hipóteses do Teorema 2.4.2 são satisfeitas. y ' = t-y 2 t+5 y