Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ - 1 k 10 k x - 5 k

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x - 5 n + 1 10 n + 1   ( x - 5 ) n 10 n =   l i m n → ∞   x - 5 n + 1 10 n + 1 ⋅ 10 n x - 5 n

=   l i m n → ∞   | ( x - 5 ) | 10 = x - 5 10

Passo 2

A série converge absolutamente para x - 5 10 < 1 , ou seja:

( - 5,15 )

Agora, para x = - 5 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 k 10 k - 10 k = ∑ n = 1 ∞ 1

Que é uma série divergente pelo teste do n-ésimo termo.

Já para x = 15 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 k 10 k 10 k = ∑ n = 1 ∞ - 1 k

Que é uma série divergente, pois oscila entre - 1   e   1 .

Então, temos que a série converge em:

( - 5 , 15 )

Resposta

( - 5,15 )

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