Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ n = 1 ∞ x n n 2

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 2 x n n 2 =   l i m n → ∞   x n + 1 n + 1 2 ⋅ n 2 x n

=   l i m n → ∞   n 2 n + 1 2 x = | x |

Passo 2

Com isso, vemos que a série converge absolutamente em ( - 1,1 ) .

Agora, para x = - 1 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

E essa série converge pelo teste da série alternada.

Já para x = 1 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

É uma série harmônica com p = 2 , portanto, converge também.

Então, temos que a série converge em:

[ - 1 ,   1 ]

Resposta

[ - 1 ,   1 ]

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Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .9. x 2 - 1 y ' ' + 4 x y ' + 2 y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .5. y ' ' + x 2 y ' + x y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .2. y ' ' + x 2 y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .7. x - 1 y ' ' + y ' = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .8. x + 2 y ' ' + x y ' - y = 0