Enunciado

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

9. x 2 - 1 y ' ' + 4 x y ' + 2 y = 0

Passo 1

Então galera, de início já vou dizendo que as soluções em termos de série de potências é beeem cansativo, pois a solução é grande, infelizmente! No entanto, o lado bom é que não é tão complicado assim... Vejamos! A equação diferencial que nos foi dada é a seguinte:

x 2 - 1 y ' ' + 4 x y ' + 2 y = 0

O que devemos supor aqui é que nossa solução tem o seguinte formato:

y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como teremos que substituir na equação diferencial, então já vamos encontrar as derivadas para facilitar nossa vida! Utilizando a regra do tombo, teremos:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n - 2

E essas são nossas derivadas! Show!

Passo 2

Se substituirmos na nossa equação diferencial, teremos:

x 2 - 1 y ' ' + 4 x y ' + 2 y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n - 2 + 4 ∑ n = 1 ∞ n c n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Da primeira somatória tiramos que:

k = n

Da segunda tiramos que:

k = n - 2

E da terceira e da quarta tiramos:

k = n

Substituindo TUDO que tem n por k na nossa somatória, teremos:

∑ k = 2 ∞ k k - 1 c k x k - ∑ k = 0 ∞ k + 2 k + 1 c k + 2 x k + 4 ∑ k = 1 ∞ k c k x k + 2 ∑ k = 0 ∞ c k x k = 0

Colocando em evidência o que for possível, teremos:

- 2 c 2 + 2 c 0 + - 6 c 3 + 6 c 1 x + ∑ k = 2 ∞ k 2 - k + 4 k + 2 c k - k + 2 k + 1 c k + 2 x k = 0

Passo 3

Da relação que escrevemos no passo 3 tiramos que:

- 2 c 2 + 2 c 0 = 0

- 6 c 3 + 6 c 1 = 0

c 2 = c 0

c 3 = c 1

k 2 + 3 k + 2 c k - k + 2 k + 1 c k + 2 = 0

Isolando c k + 2 , teremos:

c k + 2 = c k ,   k = 2 ,   3 ,   4 ,   …

Aqui é o momento que encontramos as duas soluções, galera! Para a primeira solução vamos chamar c 0 = 1 e c 1 = 0 , ok? Aplicando alguns valores de k , teremos:

c 2 = 1

c 3 = c 5 = c 7 = 0

c 4 = c 6 = c 8 = 1

Para a segunda solução vamos fazer o contrário, ou seja, vamos chamar c 0 = 0 e c 1 = 1 , ok? Aplicando alguns valores de k , teremos:

c 2 = c 4 = c 6 = 0

c 3 = c 5 = c 7 = 1

Top, top!

Passo 4

Agora que encontramos alguns termos da nossa série, então já conseguimos extrair tranquilamente nosso resultado, pessoal! A primeira solução será:

y 1 = 1 + x 2 + x 4 + …

E a segunda solução será:

y 2 = x + x 3 + x 5 + …

E está aí nossa resolução completinha, galera! 😉

Resposta

y 1 = 1 + x 2 + x 4 + …

y 2 = x + x 3 + x 5 + …

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