Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   x n

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 x n n =   l i m n → ∞   x n + 1 n + 1 ⋅ n x n

=   l i m n → ∞   n   | x | n + 1 = | x |

Passo 2

Com isso, vemos que a série converge absolutamente em ( - 1,1 ) .

Agora, para x = - 1 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa série é harmônica, com p = 1 , portanto, diverge.

Já para x = 1 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

E essa série converge pelo teste da série alternada.

Então, temos que a série converge em:

( - 1 ,   1 ]

Resposta

( - 1 ,   1 ]

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Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
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