Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

3 x y ' ' + 2 - x y ' - y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

3 x y ' ' + 2 - x y ' - y = 3 r 2 - r c 0 x r - 1 + ∑ k = 2 ∞ 3 k + r - 1 k + r c k + 2 k + r c k - k + r c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r . 3 r - 1 = 0

k + r 3 k + 3 r - 1 c k - k + r c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1 3 e r = 0

(de tal forma que c 1 = 0 )

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 1 3

Usando r = 0 , temos

c k = c k - 1 3 k - 1 ,   k = 1 , 2,3 …

E então:

c 1 = 1 2 c 0

c 2 = 1 10 c 0

c 3 = 1 80 c 0

Enquanto para r = 1 3 temos:

c k = c k - 1 3 k ,   k = 1 , 2,3 …

Então:

c 1 = 1 3 c 0

c 2 = 1 18 c 0

c 3 = 1 162 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . 1 + 1 2 x + 1 10 x 2 + 1 80 x 3 + … + C 2 . x 1 3 1 + 1 3 x + 1 18 x 2 + 1 162 x ³ + …

Resposta

y = C 1 . 1 + 1 2 x + 1 10 x 2 + 1 80 x 3 + … + C 2 . x 1 3 1 + 1 3 x + 1 18 x 2 + 1 162 x ³ + …

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