Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

5 x + 4 y d x + ( 4 x - 8 y 3 ) d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = 4

∂ N ∂ x = 4

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ 5 x + 4 y d x

5 x 2 2 + 4 x y + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

4 x + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

4 x - 8 y 3 = 4 x + g ' ( y )

g ' y = - 8 y 3

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ - 8 y 3   d y = - 8 y 4 4 =   - 2 y 4 = g ( y )

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

5 x 2 2 + 4 x y + g y              

5 x 2 2 + 4 x y - 2 y 4 = c

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: 5 x 2 2 + 4 x y - 2 y 4 = c

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