Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

d y d x = 5 y

Passo 1

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x - 5 y = 0     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - 5 e B x = 0 então:

I x = e ∫ - 5   d x

I x = e - 5 x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e - 5 x ∫ e - 5 x . 0   d x + c

y x = e 5 x . ( c )

Então

y x = c . e 5 x

Como não temos nenhuma restrição em c . e 5 x , então a solução está definida para todos os reais:

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = c . e 5 x

- ∞ < x < ∞

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