Enunciado

Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = c 1 x 2

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, para encontrar trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, primeiro a gente tem que encontrar a equação diferencial tal que:

d y d x = f ( x , y )

No nosso caso, temos:

y = c 1 x 2

d y d x = 2 c 1 x

Trocando c 1 por y x 2 ...

d y d x = 2 x   y x 2

d y d x = 2 y x

Passo 2

E aí a equação da família ortogonal é dada por:

d y d x =   - 1 f x , y

No nosso caso, temos:

d y d x =   - x 2 y

E aí agora a gente vai resolver essa equação diferencial para encontrar a função y .

Passo 3

Separando a EDO, temos:

2 y   d y =   - x   d x

Integrando os dois lados:

∫ 2 y   d y = ∫ - x   d x

y 2 = - x 2 2 + C

y 2 + x 2 2 = C

E essa é a família de trajetórias ortogonais 😉

Resposta

y 2 + x 2 2 = C

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